Question

ソル（長文になっておりますが、自己紹介を見てもらって、それでもいいよと思っていただける方に回答してもらいたいです🙇‍♀️💦）

数Bの等比数列です。②÷①をしても赤でマーカーしている式を出すことができません…どうすればできますか？解説よろしくお願いします🙇‍♀️

初項から第10項までの和が3, 第11項から第30項までの和が
18の等比数列がある. この等比数列の第31項から第60項まで
の和を求めよ.
精講
第11項から第30項までの和の考え方は次の2つ。
I. S30-S10 II. 第11項を改めて初項と考えなおす
解答
a(r10-1)=3...①,
r-1
初項をα, 公比をrとおくと, r≠1 だから,
a(230-1)
r-1
=3+18=21
②
求める和をSとすると, S+21=a(z6-1)
......③
精講 Ⅰ
r-1
② ①より.
<わり算をすると, αが消える
(10)2+210+1=7
... (r10)2+210-6=0
∴ (z-10+3)(z10-2)=0
r100 だから, r1=2...... ④
だから,r10=2
<rl+3>0
r-1
このとき,①より,=3.....5
④ ⑤を③に代入して, S=3(2-1)-21=168
(別解)
a(10-1)
=3 ...... ①.
r-1
ar10 (220-1)
r-1
= 18 ......
②.
ar30(230-1)
S=-
3
r-1
......③ とおいても解けます。
精講II

Answer 1

ブドウくん

②①ともに分母はr-1なので、ここは割り算したら打ち消し合います。分子のaも共通なので割ったら消えます。なので実質的にはr³⁰-1をr¹⁰-1で割っているだけです。
r¹⁰=tとすると、
t³-1をt-1で割ることになります。このくらいなら筆算しても出せますが、t³-1は3乗-3乗の因数分解により(t-1)(t²+t+1)とできるのでt-1で割ると、t²+t+1が残ります。(r≠1よりr¹⁰≠1，よってt-1≠0)　あとはこれをもとに戻すだけです。