102 数学Ⅰ
を満たすための条件は、放物線y=f(x) がx軸の
1<x<1の部分と, 異なる2点で交わることである。
すなわち、次の[1]~[1]が同時に成り立つことである。
[2] 軸が-1<x<1の範囲にある
[4] S(1)>0
[1] D>0
[3]S(-1)>0
[1] D=(-a)-4・2(4-1)=a-8a+8
8a+8=0 を解くと
=4±2√2
よって, D>0 すなわち 8a+8>0の解は
...... ①
a<4-2√24+2√2 <a
[2] 軸x=1/4について
-1<<1
よって
-4<a<4 ...... ②
[3] ∫(-1)>0 から
2⋅(-1)²-a⋅(-1)+a-1>0
1
よって
av-
(3)
2
[4] f(1) > 0 から
これは常に成り立つ。
2・12-α・1+α-1=1>0
①~③の共通範囲から 1 <a<4-2√2
1<)
①
-4
14-2√2 4 4+2,2 1
2
練習 2次方程式 ax-2(4-5)x+3a-15=0が,-5<x<0,1<x<2の範囲にそれぞれ1つの実数
129 をもつように、定数αの値の範囲を定めよ。
f(x)=ax2-2(a-5)x+3a-15とする。 ただし a=0
| f(p)f(g) <0なら
題意を満たすための条件は, 放物線y=f(x) が-5<x< 0,
との間に解あり
ty
a>0
1<x<2の範囲でそれぞれx軸と1点で交わることである。
すなわち (-5)(0) かつ f(1)f(2) 0
ここで
(-5)=α(-5)-2(α-5) (-5)+3a-15=38a-65,
(0)=3a-15,f(1)=α・12-2(a-5)・1+3a-15=2a-5,
(2)=α・22-2(a-5)・2+3a-15=3a+5
f(-5)f(0) <0から
(38a-65)(3a-15)<0
-5
02
a≤0
65
よって
<a<5
38
また,f(1)(2)<0 から
・①
(2a-5)(3a+5)<0
よって
5
5
<a
(2)
① ② の共通範囲を求めて
38
65<a</
これはα=0を満たす。
③ 130 数αの値の範囲を求めよ。
練習 方程式 x²+(a+2)x-a+1=0が-2<x< 0 の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ
(武庫川
