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応用問題 3
xy 平面上の直線
y=2txt2
......
(*)
あるすべての実数を動くときに,この直線の通過する領域を図示
せよ×
大にしたい
5.x+y=25
で解くと
, 50)
精講
最後に、この分野における難問の1つ 「直線の通過領域」の問題に
挑戦しておきましょう. tを時刻を表す変数と見れば, (*) は
時刻 0 で y=0,時刻1でy=2x-1,・・・といった具合に,「時間経過とともに
「動いている直線」と見ることができます. くもったガラスを直線状のワイパー
で掃くと, ワイパーの通った部分のくもりがとれるように,この動く直線が平
面上を「掃いた」跡がどのような領域になるかを求めなさい, という問題です.
難問といいましたが,難しいのはその「考え方」の部分であって, 解答自体
は意外なほどあっさりしています.
解答
-5
直線(*) 点 (X, Y) を通過する ・・・・・・①
というのは
ある実数 t が存在して Y=2tX-f2 が成り立つ
ことと同値であり,さらにそれは
50)
ー傾きー
tの2次方程式 f2-2Xt+Y=0 が実数解をもつ
傾き
ということと同値である.
その利益
f2-2Xt+Y=0 の判別式をDとすると, ②が成り立つための条件は
D≧0
である.
つまり (-2x)-4Y ≧ 0 すなわち Y≦x2
これが,①が成り立つような(X, Y) の条件で
あるから,直線の通過領域はy≦x2 である (右
図の網掛け部分,境界を含む).
y=x
X
