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重要 例題 111 連立2次
xについての不等式x (a+1)x+α <0, 3x2+2x-1>0 を同時に満たす
がちょうど3つ存在するような定数αの値の範囲を求めよ。
指針 ① まず, 不等式を解く。 不等式の左辺を見ると、 2つとも 因数分解ができそう。
なお、前者の不等式は,文字αを含むから、α
② 数直線を利用して、題意の3つの整数を見定めてαの条件を求める。
90 数学Ⅰ
CHART 連立不等式 解のまとめは数直線
a. I
(x-a)(x-1)<0から
.......
解答
x2-(a+1)x+α<0 を解くと
a<1のとき a<x<1
α=1のとき 解なし
a>1のとき 1<x<a]
3x²+2x-1>0を解くと
[1]
3つの整数xは
x<−1, 1<x
3
①,②を同時に満たす整数xがちょうど3つ存在するのは
a < 1 または α>1 の場合である。
のと
[1] - 2
as
よって
[2] a>1 のとき
3つの整数xは
(4)
201
x=-4, -3, -2
5≦a<-4
よる….
ので、おやめください。
Ball
(x+1)(3x-1)>0から
<x ・・・・・・ ②
x=2,3,4
よって
4<a≦5
[1], [2] から 求めるαの値の範囲は
-5≦a<-4,4<a≦5
sa
[2] ②
-1 0 1
1
3
520-00 X-
aの値によって場合を分ける。
2
xについての2つの2次不等式
-1
3
13
3
4
②
5
a
x
基本例題
次の事柄が成り
(1) 2次不等式
(2) 2次不等式
a=1のとき, 不等
(x-1)²<0
これを満たす実数
存在しない。
実数Aに対し
指針 2次不等式の
f(x)=ax
f(x)>
A20 は常に
A² ≤05 A=1
A20 は 不成立
-5 <a<-4としない
に注意する｡
検討 不等号にを含むか含まないかに注意
上の例題の不等式がx-(a+1)x+α≦0,3x2+2x-1≧0 となると, 答えは大きく違ってく
(解答編 p.90 参照)。イコールがつくとつかないとでは大違い!!
a<x<-1の範囲に整
つが存在すればよいか
a=-5のとき,
-5<x<-1となり
満たす。
[2] のα=5のときも
x2-2x-8<0,x2+(a-3)x-3a≧0
を同時に満たす整数がただ1つ存在するように、 定数 αの値の範囲を定めよ
⇒ y=f
きだ
→a>
② f(x):
解答
(1) 条件から,
-1<x<3の
すなわち,
を通るから
a<0, a-
① ② を解
-1<x
別解
(x+
両辺に-1
ax2+bx+3
⇔y=
⇒a<
(2) 不等号
(2) 条件から
x<-2.4
グラフは下
a>0, 4
② を
x≤-
別解
ax²+bx-
練習
次
③112 (1)
LHA
