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基本 例題 24
三角形の個数と組合せ 本
正十角形について,次の数を求めよ。
(1) 対角線の本数
(2)正十角形の頂点のうちの3個を頂点とする三角形の個数
00000
(3)(2)の三角形のうち, 正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数
CHART & SOLUTION
三角形の個数と組合せ
図形の個数の問題では、図形の決まり方に注目
三角形は1つの直線上にない3点を結んでできる。
(2)正十角形の 10 個の頂点は,どの3点を選んでも1つの直線上にない。
(3) 共有する1辺に対して,三角形の第3の頂点の選び方を考える。
解答
(1)異なる 10 個の頂点から2個の頂点を選ぶ方法は
10C2通り
p.293 基本事項 1
辺または対角線は2
の頂点を結んでできる。
この中には正十角形の10本の辺が含まれている。中のさ
(
よって
10C2-10=
10.9
2.1
-10=35 (本)
(2)3個の頂点で三角形が1個できるから, 求める個数は3個の頂点の選び方が
10.9.8
10C3=
=120 (個)
3.2.1
なれば,三角形も異なる
(3) 正十角形の10個の頂点を図のよ
A
inf. 正十角形と2辺を
うに定める。このとき,辺AB だけ
を共有する三角形の第3の頂点の選 C
び方は, A, B とその両隣の2点C J
を除く, D, E, F,G,H,Iの6通り。
他の辺を共有する場合も同様である
から,求める個数は 6×10=60 (個)
B
J
有する三角形は左の図の
△ABCのように、隣接す
I
2辺を共有する。よって、
D
H
この場合は頂点の数だける
り, 10 個となる。
E
G
FE