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重要 例 191 極方程式で表された曲線と面積
00000
極方程式 r=2(1+cos) (0ses)で表される曲線上の点と極Oを結んだ線
分が通過する領域の面積を求めよ。
指針 極方程式=f(6) を直交座標の方程式に変換して考える。
極座標 (r, 6) と直交座標 (x, y) の変換には、 関係式
・基本 182. 数学 Cp.303 参考事項
x=rcos0=f(0) cos 0, y=rsin0=f(0)sino
を用いて, x,yを0で表す。
→x,yが媒介変数日で表されるから,基本例題182と同様に置換積分法を用いて
計算する。
曲線上の点をPとし、点Pの直交座標を (x, y) とすると
解答
x=rcos0=2(1+cos 0 ) cos 0
y=rsin0=2(1+cos 0)sin0
6=0 のとき
(x,y)=(4,0),
0=
6=1/2のとき
(x,y)=(02)
において y≧0
x,yを0で表し、 まずは
曲線の概形を調べる。
dx
また
=2(-sin)・cos0+2(1+cos6)・(-sin)
de
=-2sin0(1+2cos0 )
dx
0<
001のとき、
< 0 である
y4
0=
注意 y は 0
= 1/35 におい
から, 0に対してxは単調に減少
r=2(1+cos)
2
0=0
する。
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よって, 求める図形の面積は, 右
て極大となるが,解答では,
| 面積を求めるために必要な,
図形の概形がわかる程度に
調べればよい。
の図の赤く塗った部分である。
0
xと0の対応は右のようになるか
ら, 求める面積をSとすると
s=Sydx
dx
x
0 → 4
→0
ここで
ded
do
-S2(1+cosd)sino・(-2sin0)(1+2cos0)de
=4f (sin°0+3sin'@cos0+2sin°Ocos"0)d0
Sain³ Øde-1-cos 20 do
sin20d0=
2
=
[sin 201
=
置換積分法。
dx
ひも も0の式で表
do
されるから 0での定積
分にもち込む。
半角の公式。
