例題 365円の接線, 線分の垂直二等分線のベクトル方程式
X (1) 中心C(c), 半径rの円C上の点P(po) における円の接線のベクト
ル方程式は (Do-c) (p-c)=²(x>0) であることを示せ .
OA=a, OB=b.la|=|6|=1,a6=kのとき,線分 OA の垂直二
•
考え方 (1) 円の接線 ℓは、 接点Pを通る半径 CP に垂直である。このことを、ベクトル
内積を用いて表す。
解答
等分線のベクトル方程式を媒介変数tとa, b, k を用いて表せ.
ただし,点Bは直線OA 上にないものとする。
8A RM09A
(2) BからOA への垂線をBH とする.線分OAの中点 M (12) を通り、BHに
Ishallall
な直線のベクトル方程式を求める.
(1) 接線上の任意の点をP(D) とすると,
CPLPP または PP=0
楠羽
であるから, CP･PP=0
SANGRA
Po(po)
への垂線をBH とし, ∠AOB=0
とすると, |a|=1,|5|=1 より,
(1199) kag=1x1 xcos0= cos0A(a)
OH=(cos 0)a= ka
CP=po-c. PaP=カーより。
Po-c) p-po-0
(Po-c) {(p-c)-(Bo=C)}=0
Do-c) (p-c)-po-c-0
|po-c|=CP=r であるから, (DC)(C)=2円の半径
(2) 垂直二等分線上の点Pについて,
0
M(¹a)
OP= D とする.また, B から OA
これより,
H
P(p)
C(C)
0
xox+yoy=x2
BH-OH-OB=ka-b
WWWW
垂直二等分線は,線分 OA の中点M (1/24)を通り,
BHに平行な直線であるから、五=1/24(-6)
P(p)
Dop=re
pop = xox+yoy
B(b)
P≠P のとき、
CPLPP
のとき、
注
中心が原点O(0), 半径rの円上の点P(po) における接線のベクトル方程式は、
いて c=0とおいて得られるから,
Do= (xo,yo), = (x,y) とおくと,
したがって,接線の方程式は,
PP=0
BFは,垂直二等分
の方向ベクトル
となる
