例題 上三角形になる点の座標
38 3点A(2,3), B(0, 1), C を頂点とする三角形が正三角形になるとき,
点Cの座標を求めよ。
解答 点の座標 (x, y) とする。
条件から
AB=BC=CA
よって AB2=BC"=CA2
AB'=BC" から
(0-2)2+(1-3)²=(x-0)2+(y-1)
したがって
x2+(y-1)²=8
..
①
BC2=CA" から
(x-0)2+(y-1)²=(2-x)2+(3-y)
したがって
y=-x+3
.
②
整理して
②から
②①に代入すると
x2-2x-2=0
x2+(-x+2)²=8
x=1+√3 のとき y=2-√3,
これを解くと
x=1±√3
x=1-√3 のとき y=2+√3
よって、点の座標は
(1/32+√3)
(1+√/3,2-√3) (1-√3, 2+√3