k≧16のとき、pk>pk+1と表せて kに16,17,18...と代入していくと p16>p17>p18...>p99>p100と表せますが、 kの範囲は0≦k≦100です。 k=100を代入するとp100>p101となって 無いはずのp101が出てしまうところに疑問点を... 続きを読む

とすると 二排反である である。 これは ! 重要 例題 56 独立な試行の確率の最大 000 さいころを続けて100回投げるとき, 1の目がちょうどん回 (0≦k≦100) 出る確 であり,この確率が最大になるのはk=のときである。 [慶応大] 率は 100 Ck × 6100 指針(ア) 求める確率をかとする。 1の目が回出るということは, 他の目が1回出ると いうことである。 反復試行の確率の公式に当てはめればよい。 (イ)+1 CHART 確率の大小比較 比 をDとすると ここで し、確率は負の値をとらないことと,C,=- n! r!(n-r)! が多く出てくることから、比+をとり,1との大小を比べるとよい。 を使うため、式の中に累乗や階乗 PR 解答 さいころを100回投げるとき、 1の目がちょうどん回出る確率 \100-k 5100k Pr=100Ck ( ¹ )* ( 5 )" =100CkX 6100 Dk+1 PR < 1 とすると の大小を比較する。大小の比較をするときは,差をとることが多い。しか k> Dk+1 100-k DR 5(k+1) 両辺に 5(k+1) [>0] を掛けて 95 これを解くと 6 100! ･599-k (k+1)! (99-k)! 100-k 5(k+1) k< <1 =15.8･･･ よって、16のとき PR > PR+1 Pk+1 PR 95 6 これを解くと よって, 0≦k≦15のとき したがって Pk+1 Pk > 1 とすると 100-k>5(k+1) =15.8･･･ をとり,1との大小を比べる TA 100-k<5(k+1) k! (100-k)! 100! 5100-k 10**** PR<PR+1 かくかく...... <p15 <p16, P16> 17 >>100 よって k が最大になるのはん = 16 のときである。 基本 反復試行の確率。 F7 <pk+1=100C(k+1 X- ・・・・・･ の代わりに +1 とする。 5.99-k 5100-k 増加 5100-(+1) 6100 また, (k+1)!= (k+1)! に注意。 両辺に正の数を掛けるから, 不等号の向きは変わらない。 = =1/11, 日 012 んは 0≦k≦100 を満たす整 数である。 Dkの大きさを棒で表すと |最大 減少 100 k 15 51617 99 ⑤56 の自然数nに対し, n回目にこの操作が終了する確率をpmとするとき, n の値 練習 [京都産大] Op.384 EX41 ento BATA さいころを振る操作を繰り返し、 1の目が3回出たらこの操作を終了する。 3以上 383 F8 2章 8 独立試行・反復試行の確率 Po Po

53. 「互いに排反である」ことを書いたのですが 別に大丈夫ですよね？？

380 00000 平面上の点の移動と反復試行 基本 例題 53 右の図のように、東西に4本, 南北に5本の道路がある｡P 地点Aから出発した人が最短の道順を通って地点Bへ 向かう。このとき,途中で地点Pを通る確率を求めよ。 ただし,各交差点で、東に行くか, 北に行くかは等確率 とし、一方しか行けないときは確率でその方向に行く ものとする。 A→P→Bの経路の総数 A→Bの経路の総数 指針▷ 求める確率を から, 5C22C2 7C3 A ESCAR とするのは誤り! これは、 どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で,本問は道順によって確率が異なる。 1 11 例えば,A↑↑↑→→P→→Bの確率は 2 •1•1•1•1= -1=1/ 8 2 HOT POS 1 2 11 1 1 1 -.1.1=- 2 2 2 2 2 32 基本52 重要 54. A↑→↑→↑P→→Bの確率は 15-0 したがって,Pを通る道順を, 通る点で分けて確率を計算する。 0=x 解答 右の図のように,地点 C, D, C', D', P'をとる。 Pを通る道順には次の3つの場合があり,これらは互いに排反で ある｡ [1] 道順A→C→C→P この確率は 1/2×1/12/3×1/2/3×1×1=(12/12-1/3 LONGAU [2] 道順A→D'→D→P 1 3 6 16 1 + + 8 16 32 32 2 JURCELOX ESO (C) 12年) (1 ACCED PAHB C' D' B A acopa mo P' この確率は(1/2)(1/2)×1/1/1×1=3 (1/21) - 1/6 3 = [1] ↑↑↑→と進む。 [3] 道順A→P′'′→P [2] ○○○↑→と進む。 ○には, この確率は(1/2)^(1/2)x/1/26(12/11=1 [3]001 とな 32 には、2個と12個が入る。 よって, 求める確率は 1個と12個が入る。 (すべても以下の温 (すべて以下 ゴール 練習 右の図のような格子状の道がある。 スタートの場所か ③53 ら出発し, コインを投げて、 表が出たら右へ1区画進A み、裏が出たら上へ1区画進むとする。ただし、右の 1ml 右出別 右 出 別 た オ 指 A と ! F C

51.2 写真のように考えたのですが、答えとは違いました。 なぜ解答のように（［すべて6以上］-［すべて7以上］）で求めるのですか？ （ちなみに、最小値が6より必ず1枚は6が出て、残りの2枚は6以上であればいい。6以上のカードは5枚なので 3C1×1×5×5/10×10×1... 続きを読む

378 0000 基本例題 51 最大値・最小値の確率 箱の中に, 1から10までの整数が1つずつ書かれた10枚のカードが入ってい この箱の中からカードを1枚取り出し, 書かれた数字を記録して箱の中に戻す。 この操作を3回繰り返すとき, 記録された数字について,次の確率を求めよ。 (2) 最小値が6である確率 (1) すべて 6以上である確率 (3) 最大値が6である確率 基本 (2) 指針>「カードを取り出してもとに戻す」ことを繰り返すから、反復試行である。 (1)6以上のカードは5枚あるから, "Crp" (1-b)"-" で n=3,r=3, カ ON (2) 最小値が6であるとは、 すべて6以上のカードから取り出す がすべて7以上となることはない,ということ。 つまり, 事象A: 「すべて6以上」から、事象B : 「すべて7以上｣ を除いたものと考えることができる。 (3) 最大値が6であるとは,すべて6以下のカードから取り出す がすべて5以下となることはないということ。 解答 (1) カードを1枚取り出すとき, 番号が6以上である確率は 5 1 10 2 (2) 最小値が6であるという事象は、 すべて6以上であるとい う事象から、 すべて7以上であるという事象を除いたものと 考えられる。 カードを1枚取り出すとき, 番号が7以上である確率は 4 したがって 求める確率は 10 --.C.(1)(1)=(1)-(1)= (3) 最大値が6であるという事象は、すべて6以下であるとい う事象から、 すべて5以下であるという事象を除いたものと 考えられる。カードを1枚取り出すとき 1 8 POINT 番号が6以下である確率は 6 10' したがって 求める確率は であるから 求める確率は SC (12/2)^(1/21)-1/28 直ちに (12)-12とし 3 C3 = もよい｡ 4 5³-4³ 103 5以下である確率は 5 10 6 (5)-(5)- 6³-5³ 216-125 91 103 1000 1000 61 1000 5 10 練習 ②51 (1)出る目がすべて3以上である確率 (3)出る目の最大値が3である確率 1個のさいころを4回投げるとき、次の確率を求めよ。 最小値が 6以上 最小値が 以上 最小値が 6 後の確率を求める計算が やすいように、約分しない でおく。 (すべて6以上の確率) (すべて7以上の確率) (1)の結果は1 であるが、 計算しやすいように -(1)-(2) (すべて 6以下の確率) (すべて5以下の確率) (最小値がんの確率) (最小値がん以上の確率) (最小値がk+1以上の確率 とする (2)出る目の最小値が3である Cp. 384 EX 基 x に次は (1 (2 指針 O (1) d (2) 2 5

反復試行の問題です (3)の求め方を教えてください🙇🏻‍♀️

129 赤玉3個と白玉2個が入った袋から2個の玉を同時に取り出し、色を調べて袋 に戻すという操作をするとき、 次の確率を求めよ。 (1) 1回の操作で、白玉だけを取り出す確率 (2) 1回の操作で、 赤玉と白玉を1個ずつ取り出す確率 赤白 3 22 3 白一 3 5 10 524 (3) 4回の操作で, 2回だけ2個とも同じ色の玉を取り出す確率 10 3 10. m/e P.57 22 P.60 123 3 6

画像の問題で、どうして写真の式で求めるのはだめなのですか？反復式を使わないといけない理由はなんですか？

AとB, 2つの野球チームが繰り返し対戦し、先に3回勝ったチームを優勝と する。 このとき,各試合でAがBに勝つ確率を 1/3 とし,引き分けはないものとする。

(1)の式の、2/10は何のことですか？ 教えてください🙇‍♀️

重要 例題 51 反復試行の確率 P の最大 10本のくじの中に2本の当たりくじがある。当たりくじを3回引くまで繰り 返しくじを引くものとする。 ただし,一度引いたくじは毎回もとに戻す。 n≧3とし, n回目で終わる確率をPとするとき [類 名古屋市大] (1) Pn を求めよ。 (2) Pn が最大となる n を求めよ。 ●基本 47,49 CHART & SOLUTION 確率の大小比較比 (2)Pが最大となるnの値を求めるには,Pn+1とPn の大小を比較すればよい。 確率の問題では,Pn が負の値をとらないことと, Pnの累乗を含む式で表されること をとり, 1との大小を比べるとよい。 Pn+1をとり,1との大小を比べる APP Pn+1 Pn から、比 TA KIH 解答 (1) 回目で終わるのは, (n-1) 回目までに2回当たりく じを引き, n回目に3回目の当たりくじを引く場合である。 OK よって 3800 P₁=₁-1 C₂ ( 10 ) ( 10 ) " Xx 22/8 \n-3 2 Czl n-3, 10年 -2 (1/3)^(1/1)(n≧3) (2) Pl={n(n-12(14)^2(1)}={(n-1)/n-2)(1/3)^2(1/2)} [大葉立共] _(n-1)(n-2) 2 4n 5(n-2) \5, Pn+1>1 とすると Pn すなわち 4n>5(n-2) 4n 5(n-2) (n−1)(n−2) ALBA ->1 これを解くと n <10 Pn+1−1 とすると n>10 Pn Pn+1 +=1 とすると n=10 Pn よって, 3≦x≦9のとき n=10 のとき 11≦n のとき DŽK P3<P₂<...<P9<P10=P11, P10=P11>P12>····.. したがって,P, が最大となるnの値は n=10,11 Pn<Pn+1, Pn=Pn+1, Pn>Pn+1 -40 (2) Pn+1 {(n+1)-1}{(n+1)-2} 2 '4\ (n+1)-3/1 \3 XI Pnのnの代わり に n +1とおいたもの。 5(n-2)>0であるから, 不等号の向きは変わら ない｡ P"の大きさを棒の高さで |表すと 増加 34 9 最大 12 1011 減少 n

この問題の答えにある、1/2と1 はどこから出てきたんですか？この確率の求め方が分かりません💦 教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

重要 例題 50 平面上の点の移動と反復試行 右の図のように、東西に4本, 南北に4本の道路が ある。 地点Aから出発した人が最短の道順を通って 地点Bへ向かう。このとき,途中で地点Pを通る確 率を求めよ。 ただし,各交差点で,東に行くか, 北 に行くかは等確率とし、一方しか行けないときは確 率1でその方向に行くものとする。 CHART & THINKING 求める確率を A→P→Bの経路の総数 A→Bの経路の総数 解答 右の図のように,地点 C, C', P'をとる。 Pを通る道順には次の2つの場合があり,これらは互いに 排反である。 [1] 道順A→C→C→P→B この確率は ASSA [2] 道順A→P′'′ → P→B この確率は sc (1/2)(1/2)×1/23 よって, 求める確率は 1/1/1×1×1×1=1 4C3x1 とするのは誤り! から, 6C3 この理由を考えてみよう｡ は、どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で,本問 は道順によって確率が異なるから, A→Bの経路は同様に 確からしくない。 例えば, A↑ →→→P↑↑B の確率は 1/12/×/12/×/×/1/2 1/2×1/1×1×1= A→→→ P11B の確率は 1/1/2×1/1/2×1/2×1×1×1=1/3 よって,Pを通る道順を, 通る点で分けたらよいことがわかるが,どの点をとればよいだろ うか? ·X- × 2 2 2 = 8 63 -X1X1= 1 3 + 5 8 16 16 016 A 1 16 (27 A -DE B 基本 48 B が入る。 P B P' P A C' C S |C→Pは1通りの道順であ ることに注意。 [1] →→→↑↑↑と進む。 [2] ○○○↑↑と進む。 ○には2個と↑1個 はないため、

(2)が分かりません💦 4回当たる時と5回当たるときを分けて計算しないんですか？ 分けて計算したら5回目が0になってしまいました😭 教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

180 基本例題 47 反復試行の確率の基本 当たりくじ2本を含む8本のくじがある。 引いたくじはもとに戻して1本ず つ5回引くとき,次の確率を求めよ。 (1) 2回だけ当たる確率 ( 2 ) 4回以上当たる確率 CHART & SOLUTION 反復試行の確率 1 反復試行であるかどうかの確認 ② 確率とn, rをチェック Crp (1-p)^-1) 引いたくじはもとに戻すから, 8本のくじから1本のくじを引く試行の 反復試行である。 = 5回繰り返す → n=5 1本引くとき,当たりくじを引く確率b-7238-1 (1) =2 の場合である。 (2) 4回以上とあるから, 4回または5回当たる確率を求める。 各事象は互いに排反であるから, 加法定理を利用する。 解答 1回の試行で,当たりくじを引く確率は SHERRE84 また、はずれくじを引く確率は (1)5回中2回だけ当たる確率は 2_1 1-1---1/10 3 = 4 4 5-2 135 C(+4)*(³) = 10×(4) × (²) - 112 1 =10x| (2)5回中4回以上当たるのは、「5回中4回当たる」または 「5回中5回当たる」場合である。 これらの事象は互いに排反であるから, 求める確率は sc (14)(14)+(41)=5×(14) x 12/2+(1/2-1214 64 =5x| p.329 基本事項 2 ← 1 -p を先に求めておく と、考えやすい。 確率の加法定理。 PES TROBUST 補足1回の試行で当たりくじを引く確率をか、はずれくじを引く確率を1-pとする。ま た,当たりくじを引くことを○, はずれくじを引くことを×で表すと, 5回中2回だけ TOP 当たりくじを引く場合は 00xxx, OxOxx, OxxOx, O×××0, ×00××, XOXOX, x0x x0, xx00x, xx0x0, x××00 の 5C210 (通り) あるから, その確率は 5 C202 (1p)で求められる。 5個の位置から ○の位置を2個 選ぶことと同じ 2章 5 独立な試行・反復試行の確率

(2)はどうして反復試行では求められないのでしょうか。二枚目の写真のようにも求められると思ったのですが。解説をお願いします！

5 4. 白玉4個,赤玉6個が入っている袋から玉を2個取り出すとき, 次の JH CHA 各場合に,取り出した2個の玉の色が異なる確率を求めよ。 AVE (1) 2個を同時に取り出す場合 24 24 (2) 最初に1個を取り出し, 袋に戻してから2個目を取り出す場合 16 (3) 最初に1個を取り出し, 袋に戻さないで2個目を取り出す場合

X=2の場合についてです。 なぜ反復試行のように4C2や、4C1をかけないのでしょうか？😭

4 1枚の硬貨を続けて4回投げる。 各回ごとに、表が出たら次の規則にしたがって点を与え、裏が 出たらその回は0点として, 4回の合計点をXとする｡ 1回目が表の場合は 3点, 2回目が表の場合は 3回目が表の場合は 1点, 4回目が表の場合は (1) X = 2 である確率は ある｡ (1) 3回目と4回目 XXOQ (iv) 201 XOXX AT ア イ 9 X = 3 である確率は ウ エオ 9 2点 1点 〔類 センター試験追試] X = 4 である確率は キク 5 で EO