例題 49
平面上に △OAB があり, OA = 5, OB=8, AB=7 とする。 s, t
を実数として、点Pを OP = sOA+tOB で定める。 s≧0, t≧0,s+2t≧2,
2s+t≦2 のとき,点Pの存在しうる領域の面積は OABの面積の倍で
ある。
指針 OP =sOA + tOB を満たす点Pの存在範囲
1. s+t=1 ならPの軌跡は直線AB
特にs+t=1,s≧ 0, t≧0 ならP の軌跡は線分AB
2.s+t≦1, s≧0, t≧0 なら △OAB の周および内部
3.0≦s≦1,0≦t≦1 なら平行四辺形 OACB の周および内部
S
S
解答s+2t 2 より 123+t≧1であるから,212s' とおくと
OP=s' (20A) +tOB (s' ≧0, t≧0, s′+t≧1)
t
≦1
また,2s+t=2より, s+1/2 であるから 1/2=とおくと
=t
OP=sOA+t' (2OB) (s≧0,t'≧0,s+t'≦1)
[類 21 摂南大]
よって, OA'=2A, OB' =2OB となる点 A', B'
をとり, 線分AB と線分AB' の交点をCとすると,
点Pが存在しうる部分は △BB'Cの周および内部で
あり,右の図の斜線部分である。
A
B
△ABC∽△B'A'C であるから
AC: B'C=AB:B'A'=1:2
また,Bは線分 OB' の中点であるから
A'
B'
△B'AB=△OAB
したがって、図の斜線部分の面積は ABB'C=AB'AB=
2
AB'ABAO
AOAB
3
よって、点Pの存在しうる領域の面積は△OAB の面積の
2
133 倍である。
