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X2-4Y0 より
例題 130 条件を満たす点の存在範囲
Ys-X2
4
★★★★
実数x, y が x+y≤ 8 を満たしながら変化するとき, 次の点の存在範
囲を図示せよ。
② ④ より 点 Q の存在範囲は
y4
1
y≥
x2 4
2
1
(1) P(x+y, x-y)
S
x²
(2) Q(x+y, xy)
-4 0 4 x
https://www.youtube.com/watch?v=-
思考プロセス
2曲線 y=1/2x-4.y=1/21 x²
x²-4=
(1)
問題の言い換え
Z1I7XgAK_c
2
点(x, y) が領域x +y'≦8内を動くとき,
点P(x+y, x-y) はどのような図形を動くか。
① 軌跡を求める点を (X, Y) とおく
← 軌跡の問題
の共有点は (-4, 4), (4, 4) であるから, 右の図の斜線
部分。ただし,境界線を含む。
1
x=4 より x=16
4
よって
X = x +y, Y=x-yとおく。
(x,y)=(4, 4), (-4, 4)
2 与えられた条件を X, Y の式で表す。
Point 実数条件
条件xty S8 → X, Yの式で表す
(2) 1
(2) では実数条件が必要であるが, (1) では必要ない。 この違いを考えてみよう。
(2)点Q(x+y, xy) の存在範囲に点 (X, Y) が含まれていたとする。
このときのx, を X, Y を用いて表してみる。
X = x+y, Y =xy とおく。
② 条件+y S8 →X,Yの式で表す
条件はこれだけでは不十分である。
X, Yはすべての実数をとるとは限らない。
例 X = x + y = 1, Y =xy = 1 となる x, y は
2次方程式 e-t+1=0の2解であるが,
この解は実数ではない。
文字を置き換えると
範囲が変わる。
◆ 解と係数の関係より
⇒ピーXt+Y = 0 が実数解をもつ範囲しか, X, Y は動かない。
Action》 x+y= X, xy = Y とおくときは, x, y の実数条件を考えよ
(1) X = x +y, Y = x-y とおくと
(X = x+y... ①
とすると, ① より y=X-x
Y = xy
...②
これを②に代入すると
よって, ③ の判別式 D = X-4Y ≧ 0 のとき x=
Y=x(X-x) すなわち ポー Xx + Y = 0
X±√X2-4Y
2
... ③
(D<0 のときは,実数x, y は存在しない。)
この下線部が, 解答の実数条件の表す意味である。
実際, X = 0, Y = 4 となる実数x, y が存在するか考えると
x=
X+Y
2
y=
X-Y
2
点Pの座標を(X, Y) と
おく。
(X = x+y=0
のとき
ly=xy=4
fx=2i
(x = -2i
または
lv=-2i
ly=2i
よって, 実数x, y が存在しないから, X = 0, Y = 4 は不適である。
fx,yを消去するために,
xyについて解く。
x+y≦8 より
(+)+(X)
≤8
一方, (1) P(x+y, x-y) の存在範囲に点 (X, Y) が含まれていたとする。
(X=x+y... ①
とすると
よって
X+Y 16
lY=x-y... ②
X+Y
したがって, 点Pの存在範囲は
X-Y
(①+②)÷2 より x=
(①-②)÷2 より y=
2
x + y ≤ 16
であり、 右の図の斜線部分。 ただ
0
2
がどのような実数をとっても, 実数x, y は存在する。
「とから, (1) では, 実数条件を考える必要はないのである。
し、 境界線を含む。
4
(2) X = x+y, Y = xy ... ① とおく。
x+y ≦ 8 より
(x+y)-2xy≦8
① を代入すると X2-2Y ≤8
1
すなわち Y≧ X2-4 ...②
例題!
38
とすると
D=(-X)-4・1・Y = X-4Y
ここで, x, yは2次方程式 - Xt+Y=0 ... ③ の解
であり, x, yが実数であることから, ③の判別式をD
D≧0
x+y, xy がともに実数
であってもx,yが実数
とは限らないため, x, y
の実数条件を考える。
Point 参照。
練習 130 実数x, y が x +y ≦ 4 を満たしながら変化するとき, 点 (x+y, xy) の存
