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例題 5 正四角錐の側面に接する半球
右の図の正四角錐 A-BCDE におい
て, AB=AC=AD=AE=3√3,
BC=CD=DE=EB=6であり,内部に
半球がある。 この半球の底面は正方形
BCDE 上にあり, 球面は正四角錐の4
つの側面と接している。
このとき、 半球の半径を求めよ。
い
D
解答 辺 BC, DE の中点をそれぞれM, N, 球の中心を0とする。
△ABM において AM=√√(3/3)2-3°=√18=3√2
考え方)
辺BC, DE の中点と点
を通る平面で切った断食
で考える。
3√√2
r
r
6
△ABCの辺BC, CA, AF
このとき, DEF の重心
中線AD と線分 E
明せよ。
とする。 CE=EA
中点連結定理から
AF//ED
また,BF = FA.
中点連結定理か
AE//FD
① ② より 対
よってEP=
同様に,中線
それぞれ Q
したがって,
交点となり,
すなわち,
BC = 6 より BM=CM=3
作る
3点A, M, Nを通る平面で切った断面で考える。
M
3
0
MN=CD=6より MO=NO=3
△AMO において AO=√(3/2)^2=√9=3
△AMN の面積を2通りに表すと
TV=29
1/2(AM+AN)=1/2MNAO 中
が成り立つ。すなわち
(3√/2+3√2)=-6.3
よって
r= 3√2
2
(問題 5
正四角錐 A-BCDE の高さは12, 底面の正方形の1辺の長さは10であ
る。この内部にある球が正四角錐のすべての面に接しているとき,球 A
の半径を求めよ。
AH=12.ALL MH.MH=NH
MN=CD=10 MH=NH=5
AM=AN=123+52=5169=13
1/12 (AM+MN+AN)=1/2MN.AH
1/2(13+10+13)=1/2x10.12
rs
3
M&HS N
サ
B
問題6
ABCの内心をIc
それぞれP,Q,R
とを証明せよ。
