数と対数関数」
練習 a,bは定数とする。 xの方程式 (10g2(x2+1)}-alog2(x+1)+α+b=0が異なる2つの実数解
194 をもつような点 (a, b) 全体の集合を、座標平面上に図示せよ。
10g2(x2+1)=t とおくと, 方程式は-at+a+b=0 ... ①
x 2 ≧0 より x2 +1≧1であるから
したがって
log2(x+1)≧log21=0
t≧0 log2(x2+1)=t を満たすxの個数は
t=0のとき x=0から1個, t>0のとき x2 > 0から2個。
求める条件は, 2次方程式 ① が t>0の範囲に1つの実数解を
もつことである。ゆえに,次の [1], [2] の場合である。
[1] 2次方程式 ① が正の重解をもつ。
判別式について
D=(-a)-4・1・(a+b)=0
NV
-a
このときの重解について t=-
2･1
2.1=>
a>0
1
よって b= =a-a かつ a0
②
←例えば, t=1のとき
x2+1=2
ゆえにx2=1
よって x=±1
このように, t0 のとき,
1つのtの値に対し, x
の値は2個ある。
[2] 2次方程式 ① が正解と負の解をもつ。
2つの解をα β とすると
よって
aβ=a+b<0
b<-a
③
②③の範囲を図示すると、 右の図の
b
b=1/02-
←解と係数の関係による。
←
+b=-ab=a²-a
に代入して=0X3
斜線部分および太い実線部分のよう
になる。ただし、直線 6=-α上の点
は含まない。
O
a
ゆえに a=0 (重解)
よって, 直線b = -α と
b=-a
放物線b=--αは原
点で接する。
