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重要 例題 35 数字の順列 (数の大小関係が条件)
00000
次の条件を満たす整数の組 (α1, A2, A3, A4, α5) の個数を求めよ。
(2) 0≤a1a2a3a4a53
(1) 0<ar<az<aз<as<as<9
(3) a1+a2+astastas≦3, a≧0 (i=1,2,3,4,5)
......
基本333
指針 (1) a1, A2, ......,
as はすべて異なるから, 1, 2,
を選び, 小さい順に a1, a2,
αを対応させればよい。
8の8個の数字から異なるうち
求める個数は組合せ C5 に一致する。」
→
(2) (1) とは違って、条件の式に≦を含むから, 0, 1, 2, 3の4個の数字から重複を許し
...
て5個を選び、小さい順にα1, 2, as を対応させればよい
求める個数は重複組合せ H5 に一致する。
解答
(1)1,2,
順に A1, A2,
る。
8の8個の数字から異なる5個を選び,小さい
・・・・・, α5 とすると, 条件を満たす組が1つ決ま
よって, 求める組の個数は
(2)0,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び, 小
さい順に α1, A2, ・・・・・, α5 とすると, 条件を満たす組が1つ
決まる。
2つの
(3) おき換えを利用すると,不等式の条件を等式の条件に変更できる。
3-(a+a2+as+a+α5)=bとおくとa+az+a3+α+as+b=3
b≥0 X=1-X-1-
また, a1+a2+as+a+as≦3から
←等式
よって,基本例題 34 (1) と同様にして求められる。古
検討 2
次
うにして解くこともできる。
(2)[p.348 検討の方法の利
用]bi=a+i(i=1,2,3,
4,5) とすると,条件は
0<br<b<b<ba<b<g
と同値になる。 よって
56個
(1)の結果から
8C5=8C3=56 (13) S=1-3
.0
よって、求める組の個数は 4H5=4+5-1C5=8C556 (個) (3)3個の○と5個の仕切り
(3) 3-(a1+a2+α3+α+αs)=bとおくと
a1+a2+a3+a+α5+b=3,
a≧0 (i=1,2,3,4,5,6≧0
よって、求める組の個数は, ① を満たす 0 以上の整数の組の
個数に等しい。これは異なる6個のものから3個取る重複組
合せの総数に等しく 6H3=6+3-1C3=8C3=56 (個)
を並べ,例えば,
〇〇〇円の場合は
(0,1,0,2,0) を表すと
考える。このとき,
A|B|CD|E|F
とすると,A, B, C, D
Eの部分に入る○の数を
①
