り立つのが恒等式である。与式の右辺を通分して整理すると
でa, b, cの値を定める。このとき,分母を払った 整式を考えるから,分母を0にする。
両辺の分母が一致しているから,分子も等しくなるように,係数比較法または執値代入臣
指針>分数式でも,分母を0とするxの値(本間では -1, 1)を除いて,すべてのxについて。
000
C
C
6
a
-2x?+6
x-1'(x-1)
本15,15
-2x°+6
alx-1)°-6(x+1)(x-1)+c(x+1)
*=ー1, 1も代入してよい(下の検討参照)。
解答
4(分母)キ0から
(x+1)(x-1}+0
両辺に(x+1)(x-1)°を掛けて得られる等式
-2x+6=a(x-1)ー6(x+1)(x-1)+c(x+1)
もxについての恒等式である。
解答1.(右辺)=a(x?-2x+1)-6(x*-1)+cx+c
の
4係数比較法による解答。
=(a-b)x?+(-2a+c)x+a+b+c
-2x°+6=(a-b)x+(-2a+c)x+a+b+c
よって
「両辺の係数を比較して」
両辺の同じ次数の項の係数は等しいから
a-b=-2, -2a+c=0, a+b+c=6
この連立方程式を解いて
と書いてもよい。
a=1, b=3, c=2
解答2.0の両辺にx=-1, 0, 1を代入すると,それぞれ
(数値代入法による解答。
4=4a, 6=a+b+c, 4=2c
この連立方程式を解いて
a=1, b=3, c=2
このとき, ①の両辺は2次以下の整式であり,異なる3個の
xの値に対して成り立つから,O はxについての恒等式であ
a=1, b=3, c=2
求めた a, b, cの値を0
の右辺に代入し,展開した
ものが0の左辺と一致す
ることを確かめてもよい。
る。したがって
(検討 分母を0にする値の代入
分母を0にする値x=-1, 1を代入してよいかどうかが気になるところであるが,これは問題
ない。なぜなら,値を代入した式①は,x=-1, 1でも成り立つ整式の等式だからである。
すなわち, xにどんな値を代入してもよい。
そして、この等式が恒等式となるように係数を定めれば,両辺を(x+1)(x-1)°で割って得られ
る分数式も恒等式である。ただし,これはx=-1, 1を除いて成り立つ。
