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基本 例題 34 αnt=pan+g型の漸化式
00000
P.462 基本事項 2 重要 38, 基本48,51
次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
a1=6, an+1=4an-3
同じ文字におきかえる
=1,g≠0) の形の漸化式から一般項を求めるには, p.462 基本事項
_α-3を満たすα に対して,次のように変形
an+1=40-3
した特性方程式を利用する方法が有効である。
an+1-α=4(an-α)
-
- 等比数列の形。
-L α=4α-3
解答
an
は???
する。
an+1-α=4(a-a)
CHART 漸化式 α+1=pan+g 特性方程式 α=pu+gの利用
an+1=4an-3 を変形すると
an-4(an-1)
-1=6 とおくと
bn+1=46n, b1=a-16-1=5
よって,数列{bm}は初項 5,公比4の等比数列である
1α=4α-3の解は
なお、この特性方
を解く過程は、解
かなくてよい。
91-12 lis
から
6n=5.4-1
ゆえに
A2-1-2
別解 an+1=4an-3
a3-10b3
おくと
an+2=4an+1-3
......
an=bn+1=5.4"- '+1
①でnの代わりに n+1と
②
anan+1慣れてきたら、
まま考える。
② ① から an+2-an+1=4(An+1-an)
定数部分(「一
数列 {az} の階差数列を {bm} とすると
bn+1=4bn, bi=az-a1= (4・6-3)-6=15
a2=4a1-3
よって, 数列{6} は初項 15, 公比4の等比数列である
から
bn=15.4-1
ゆえに,n≧2のとき
n-1
(*)
An=a1+15.4-1 = 6+
k=1
=5.4-1+1
n=1のとき 5.4°+1=6
15(4"-1-1)
4-1
③
n≧2 のとき
an=a+2
k=
a =6であるから,③はn=1のときも成り立つ。
したがって an=5.4" 1+1
初頭は
参考 (*)で数列{bm} の一般項を求めた後は,次のようにするとこの計算をしな
(*)から
Anti-a=15.4"-1
①をする
(1g-3)-=1
