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数学 高校生

図3でこれ最大と最初の取る場所の位置逆だと初め思ったのですがなぜこの二つで最大最小とるのですか?

17:3 値の ピンポイント解説(xyの式)=kとおく考え方 ●最大値・最小値を求めようとする式をんとおく考え方 例題106 (以下, A とする) では,x+y=k と おいて解いた。その考え方は次の通りである。 領域Dに含まれるすべての(x, y) の値に 対して, x+yの値を計算し, x+yの最大 値・最小値を探し出すのは不可能。 ↓ そこで………… x+y=k とおいて, (x, y) を直線 y=-x+k 上の点としてまとめて扱う。 ky切片なので,図から判断できる。 よって, 直線 x+y=k ...... D内の点を1 つずつ調べる のは無理! k(=x+y)が y 173 x+y=k とおく ことで,まとめ て扱える! Ay y=-x+h ここに現れる! D 3章 14 wwwwww ①が領域Dと共有点をもつとき 切片の最大値・最小値を考えればよいことになる。 そこで,直線 ①を平行移動して,領域Dに初めて触れると ころから、領域Dから離れようとするところまでの様子を 調べると、 図1のようになる。 図から,直線①が, 図1 A k ① 最大 不等式の表す領域 める。 ●座標に 立方 てる。 点 (2,3) を通るとき, kは最大, 点(-2, 0) を通るとき, kは最小となる。 最 ●傾きの大小関係に注意 DO A と同じ条件で, x+3yの最大値・最小値を考えてみよう (これをBとする)。 図2 B y べる。 1 k 角形の x+3y=k とおくと y=- -x+ ② 3 一注目 (2 最大 ・傾き- ごおく ② 最小 直線 ②を平行移動させ、領域Dとの位置関係を調べると, 図2のようになる。 図からわかるように,Aでは,直線 ①が点 (2,3) を通るときに最大となったが, Bでは,直 ②が点 (04) を通るときに最大となる。 このように結果が異なる理由は, 直線 ①②と領域Dの境 界線の傾きの大小関係にある。 実際、直線 ①,② と境界線 y=-x+4の傾きを比較すると 1/2x+ -1-1/2-1/ このため、最大値をとるときのx, yの値が異なるのである。 最後に,Aと同じ条件で, -3x+yの最大値・最小値を考 えてみよう(これをCとする)。 10傾き、 felon 3 図 3 C y/3 (3) -3x+y=k とおくと y=3x+k 3 図3から、 直線 ③が,点(-2, 0) を通るとき, kは最大, 点 (2,3)を通るときは最小 このように平行移動させる直線と境界線の傾きの大小関係 が異なれば、 最大値・最小値をとるときのx,yの値も異なる 場合がある。 図をしっかりかいて考えよう。 傾き2、 傾き3- 最大 0 最小

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数学 高校生

(2)でなぜ点Mは直線②上にあるのですか?

および長 463 基本事項 る解法も考 を消去して ① Q (x2,y2) 4\x2-x1 例題 153 基本例 十点の軌跡 |双曲線x-2y2=4と直線 y=-x+k が異なる2点P, Qで交わるとき <(1) 定数kのとりうる値の範囲を求めよ。 ((2) (1)の範囲でk を動かしたとき, 線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。 指針 基本 151 152 (1) ①共有点実数解 双曲線と直線の方程式から導かれるxの2次方程式が 異なる2つの実数解をもつ条件、つまり判別式D>0 からkの値の範囲を求める。 (2)2点P,Qのx座標をx1, x2 とすると,1,2は(1)の2次方程式の実数解である。 M(x, y) とすると x= x1+x2 , y=-x+k 2 ←点Mは直線y=-x+k上。 解と係数の関係を用いて x+x2をkの式で表し, つなぎの文字を消去するこ とによりx,yの関係式を導く。 なお、(1)の結果により, xの範囲に制限がつくことに注意。 ...(+5) CHART 弦の中点の軌跡 解と係数の関係が効く x2-2y2=4 ...... ①, y=-x+k 1 x 解答 ②①に代入して整理すると ard ② とする。 x2-4kx+2k2+4=0 ③ (1) 2次方程式 ③の判別式をDとすると 467 ここで1241=(-2k)-1-(24)=2(-2) P 2 M 2 0 よって, k-2>0 から (k+√2-√2) したがって k<-√2, √2<k (2)PQのx座標を x1, X2 とすると, これは 2次方程式 ③の解であるから,解と係数の関係 ① (8+0)=(($0) の方針。 複雑なと 一関係の利 連立方程 に解くと + 0 より x+x2=4k M (x, y) とすると x= このとき x+x24k 2 y=-x+k=-2k+k=-k ② =2k = 2 に代入して Je.... ④ ...... 点は直線② 上にある。 これは=0のときも成り でありx =219 ④ ⑤から消去すると y=-- 2 PD 2 点の座標 また,(1)の結果と④ から x <-2√22√2 x * よって, 求める軌跡は k=1から [[] 2 もできる。 直線 y=-2 x2√2,2√2 <xの部分 (*) この条件を落とさない ように。 風のせ方占をもつとキ

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