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18 2次不等式 すべての』について…
次のの不等式の解がすべての実数となるような, 定数の値の範囲を求めよ.
(m+1) mx²+2mx+m-1<0
(東北福祉大, 改題)
グラフを活用する 解の配置と同様に, グラフを活用しよう.
「2次関数f(x)=ax2+bx+c (α0) がすべての実数ェに対してf(x) <0 を満たす」… (*)
ということをy=f(x) のグラフを利用してとらえると,
(*)
「放物線y=f(x) がx軸 (直線y=0)の下側にある」
⇔「放物線y=f(x) が上に凸で,かつェ軸と共有点をもたない」
a<0,D<0
⇔
α < 0, かつ, f (x)=0 の判別式D<0」
「2の係数
となる.
/y=f(x)
H
なお, a=0のときは, f(x) =bx+c (直線)であり,このときつねに
f(x) <0となる条件は,傾きが0で切片が負であること,つまり
「 b = 0 かつc<0」
である. (f(x)が負の値を取る定数関数であることが条件)
「解答量
f(x) = (m+1)mx²+2mx+m-1 とおく.
m=-1のとき, f (x)=-2x-2となり不適である.
・m=0のとき,f(x) =-1となり適する.
.m≠-1,m≠0のとき, つねに f (x) <0となる条件は,
0
H
y=f(x)
「すべてのェに対してf(x) <0」
とはならない.
う
(m+1)<0かつ, 2次方程式f(x)=0の判別式D<0 グラフが上に凸
が成り立つことである.
(m+1)m <0により, -1<m<0
D/4=m²-(m+1)m(m-1)=m{m-(m+1)(m-1)}<0
①により, m-m+1) (m-1)>0
①
..m²-m-1<0
1-√√5
1+√5
1-√5
よって,
<m<
であり, ①とから,
<m<0
2
2
2
2-11-15
1+√5
<0<
2
以上により, 求める範囲は,
1-√√5
21
<m≤0
注
「f(x) =ax2+bx+c (a≠0) がつねに正」
⇔「α>0,かつ, f(x) =0の判別式D<O」
+
注 関数 f(x) が最大値をとるとき,
「f(x) がつねにf(x) <0」 ⇔ 「f(x) の最大値<0」
である. この考え方で, f (x) =ax2+bx+c (a≠0) がつねに負となる条件
を求めてみよう. まず, 4 <0 でなければならず,このとき,
a>0, D<0
y=f(x)
f(x)=a(x+2)²= b²-4ac
の最大値は
4a
b2-4ac
-4a
であるから, 最大値 <0b2-4ac<0 (∵
よって, その条件は, a < 0 かつ62-4ac < 0
-44> 0)
←D=b2-4ac であるから, 前文の
条件と同じ.
18 演習題 (解答は p.62)
そう1回
ぱぱっと
すべての実数x,yに対して2-2 (α-1)xy+y2+(a-2)y +1≧0が成り立つような
の範囲を求めよ.
(阪南大)
まず1文字を固定し, 別
の1文字だけを動かす.
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