500 第8章数
列
例題 285 いろいろな数列の和
Sn=12-22+32-42++(-1)n+1n2 を求めよ.
***
........(-1)+1の和であるが,nが偶数か奇数かで、
考え方
Sn は数列 12, 22, 32, 42,
その和を分けて考える必要がある.
nが偶数、つまり、n=2mmは自然数) のとき,
Sn=12-22+32-42++ (2m-1)2-(2m)2
|解答
第 2 項
=(12-22)+(32-42) +......
+{(2m-1)-(2m)2}
第3項
第 (2m+1) 項
nが奇数, つまり,n=2m+1のとき,
Sn=12-22+32-42++ (2m-1)2-(2m)+(2m+1)2
=(12-22)+(32-42)+…+{(2m-1)-(2m)2}+(2m+1)2
-第1項
nが偶数のとき, n=2m(mは自然数)とおくと, n=2,4.6.
Sn=Szm=(12−22)+(3-4)+... +{(2m-1)-(2m)2}
m
m
={(2k-12-(2k)2}=Σ(-4k+1)
k=1
k=1
=-4•
-4.1 m (m+1)+m=-m(2m+1).......
n=2mより,m=1/23nを①に代入して,
++
S₁ = -1/n (n+1) …②
nが奇数のとき, n=2m+1(mは自然数)とおくと,
Sn=Szm+1=(12−22) + (32-42) +・
+{(2m-1)2-(2m)2}+(2m+1)2
数列
{ (m-1)^2-(2m)
の初項から第m項ま
での和と考える.
|和はnで表す.
n=3,5,7,
=Szm+(2m+1)=-m(2m+1)+(2m+1)2
Focus
=(m+1)(2m+1)
n=2m+1 より,m=1/2(n-1) ③に代入して,
===
S.-(12+/1/1) (17-1+1)=1/2(+1)
n+
④は n=1のときも成り立つ.
…... ④
n=1 とすると,
よって,②④より,S,=(-1)+11n(n+1))
nが偶数の場合と奇数の場合に分けて考える
S2m+1=S2m+a2m+1
•1・2=1
場合分けた② ④
の形のままでもよい。
