こういう問題において範囲を定める時、xかy一方しか考慮してませんが、一方で範囲を決めるともう一方はやらなくていい理由を教えてください

基本例題 12 曲線の媒介変数表示 「次の式で表される点P(x,y)は,どのような曲線を描くか。 (1) { x=t x=t+1 y=√t (2) { よって 解答 ①1 (1) y=√t から t=y2 指針 媒介変数t または 0 を消去して, x, yのみの関係式を導く。 x=cose x=t+1に代入して x=y+1 また, y=√t よって x-2 3 EX (3) { 212 (4) (2) (4) 変数x,yの変域にも注意。 ≧0,-1≦sin0≦1, -1≦cos0 ≦1, 2 > 0 などの「かくれた条件にも気をつける。 y=0 t≧0であるから 放物線x=y'+1のy≧0の部分 9 -一般角で表されたものについては, 三角関数の相互関係 sin²0+cos²0=1 などを利用するとうまくいくことが多い。 x=3cos0+2 y=4sin0+1 y=(1-cos20)+1=2-cos20 \ 4 | sin+cos²0=1に代入して 楕円 (4) x=2+2 から x2=22t+2+2-2t y=24-2 から y²=22-2+2-2t ①②から 1-(2) (2) sin²0=1-cos20 から ! cose=x を代入して y=2-x² +3 ( また, -1≦cos 0≦1 であるから よって 放物線y=2x2の-1≦x≦1の部分 -1 0 (3) x=3cos0+2,y=4sin0+1から-(1-x)-(1-x)=(3) 9 を消去しなくても, COS θ= sing=y-1 p.129 基本事項で学んだこ とから結果はわかるが, 案では0を消去する過程 述べておく。 −1≤x≤1-18-4= sin @coso $1 & +³5 (x−2)²_ (y−1)² -=1 + 16 ..…... 1000036 0=T ② x=2+2-t y=2t-2-t p.129 基本事項 ② x2-y2=4 また, 2'02-0から 2'+2≧2√2'2'=2+05”200 等号は, 2=2 すなわち t = -t から t=0のとき成り立つ。 双曲線ギュー=1のx=2の部分 ISAHO YA 20=2 1 (2f2 = 22t, (2-¹)²=2-²t, al 2.2-t=2⁰=1 20=0 1 OS nie=0x000x²=S=Y 1 (相加平均) (相乗平均 正の式どうしの和につ は、 この条件にも注意。

この問題はPと置いてる式は対称式じゃないと思うんですけどXと Yをcosθ、sinθ遠く時にどっちをどっちにするかで答えが変わっちゃうんじゃないかと思ったんですけど、どうしてどっちをどっちにおいても答えが変わらないのでしょうか？よろしくお願いします

;yがx+y=1を満たすとき, 3x2+2xy+y2 の最大値はア 例題 159 □である。 1文字を消去,実数解条件を利用する方針ではうまくいかない。 そこで、条件式 rty=1は, 原点を中心とする半径1の円を表すことに着目する。 これを3x+2xy+y2に代入すると, sin0, cos0 の2次の同次式となる。 よって,後は 点(x,y) は単位円上にあるから, x=cose, y = sin0 とおける (検討参照)。 20 に直して合成の方針で進める。 前ページの基本例題158 と同様に, Shawns ことができる。 +2xy+y2 とすると p=3cos20+2cososino+sino y=1であるから, x=cos0, y = sin0 (0≦0<2π) とおく | <条件式がx+y2=² の形 1 のときの最大最小問題で は、 左のようにおくと,比 較的らくに解答できること もあるので、 試してみると よい｡ 1+ cos 20 = 3. 最小 1-cos 20 2 3. 2 + sin20+ sin 20+ cos 20+2= √2 sin(20+)+2 π のとき2044 であるから -1≤sin (20+4)=1 -√2+2= √2 sin (20+) + 2 = √2 +2 よってPの最大値は 2+√2, 最小値は2-√2である。 最小値 |基本 158 y=rsin0 三角関数の合成。 円の媒介変数表示 一般に、原点を中心とする半径rの円x2+y2=2 上の点をP(x,y)と OPの表す角を0とすると x=rcos 0, これを円の媒介変数表示という (数学ⅢIの内容)。 5 Pが最大となるのは, sin (20+4)=1の場合であり,このとき 2014/12/12 12/27 201 π すなわちコ T 9 πである。 これから、半角の公式と0+πの公式を用いて,最大値を 8 与える x,yの値が求められる(下の練習 159 参照)。 8 249 VA rsin r _P(x,y) -0 Ox rcos [学習院大 ] 159 大値を与える点Pの座標を求めよ。 平面上の点P(x,y) が単位円周上を動くとき, 15x2+10xy-9y2 の最大値と,最 p.254 EX103 14 24 三角関数の合成 4章 27

頭の良い方解説お願い致します (2)の？の部分ベクトル ベクトルOH＝(cosθ)ベクトルa＝kベクトルaと言うのは何を表しているのですか？ 教えて頂きです。お願い致します。

例題 365円の接線, 線分の垂直二等分線のベクトル方程式 X (1) 中心C(c), 半径rの円C上の点P(po) における円の接線のベクト ル方程式は (Do-c) (p-c)=²(x>0) であることを示せ . OA=a, OB=b.la|=|6|=1,a6=kのとき,線分 OA の垂直二 • 考え方 (1) 円の接線 ℓは、 接点Pを通る半径 CP に垂直である。このことを、ベクトル 内積を用いて表す。 解答 等分線のベクトル方程式を媒介変数tとa, b, k を用いて表せ. ただし,点Bは直線OA 上にないものとする。 8A RM09A (2) BからOA への垂線をBH とする.線分OAの中点 M (12) を通り、BHに Ishallall な直線のベクトル方程式を求める. (1) 接線上の任意の点をP(D) とすると, CPLPP または PP=0 楠羽 であるから, CP･PP=0 SANGRA Po(po) への垂線をBH とし, ∠AOB=0 とすると, |a|=1,|5|=1 より, (1199) kag=1x1 xcos0= cos0A(a) OH=(cos 0)a= ka CP=po-c. PaP=カーより。 Po-c) p-po-0 (Po-c) {(p-c)-(Bo=C)}=0 Do-c) (p-c)-po-c-0 |po-c|=CP=r であるから, (DC)(C)=2円の半径 (2) 垂直二等分線上の点Pについて, 0 M(¹a) OP= D とする.また, B から OA これより, H P(p) C(C) 0 xox+yoy=x2 BH-OH-OB=ka-b WWWW 垂直二等分線は,線分 OA の中点M (1/24)を通り, BHに平行な直線であるから、五=1/24(-6) P(p) Dop=re pop = xox+yoy B(b) P≠P のとき、 CPLPP のとき、 注 中心が原点O(0), 半径rの円上の点P(po) における接線のベクトル方程式は、 いて c=0とおいて得られるから, Do= (xo,yo), = (x,y) とおくと, したがって,接線の方程式は, PP=0 BFは,垂直二等分 の方向ベクトル となる

【数Ⅲ 微分】 途中計算を含めて教えていただきたいです🙏🏻

問 14 xの関数yが, 媒介変数tを用いて,次の式で表されるとき, 導関数 dy をtの式で表せ。 dx x=2t2 y=3t (1) (2) { x=√√t y=t+3

赤線部のACのことで、なぜ両辺をACで割ってはいけないのでしょうか？ △ABCは...とあるのでAC≠0だと思いますし、ACで割った結果AC＝ABで二等辺三角形になるとおもったのですが...

次の等式を満たす △ABC は、どんな形の三角形か。 PR 33 AB・AB=AB・AC+ BABC+CA CB 等式を変形すると AB・AC-AB BC+AC・BC-AB・AB=0 この等式の左辺について (左辺)=(AB・AC+AC・BC)-(AB・BC+AB・AB) ○ ○ と、点P (AB+BC) AC(AB+BC)-AB =AC・AC-AB・AC MACARCARE UC =AC (AC-AB) =AC BC ₁5√ √ 25=8-- よって (2AC・BC=0 AC = 0, BC ¥0 であるから したがって AC⊥BC ゆえに, ABC は, ∠C=90°の直角三角形である。 別解 AB・AB=AB(AC+CB)+CA・C ACIBC よって CA ¥0 CB ≠ 0 であるから CB≠0 始点をAにそろえる OCALCR CA⊥CB 等式の右辺において、 =AB・AB+CA・C インタ真空 AB・AC+BA・BC des CA CB=0/200 (s) AC, AB でくくる。 ACでくくる。 12----1--0- したがって CA⊥CB は ゆえに,△ABC は, ∠C=90°の直角三角形である。 =AB・AC-AB・(-CB) と変形する。 +80⁹-00 E+D (AO+HOE) 他の柑介変数表示を媒介変数として求めよ。 また, t を消去した式で表せ。 平行な直線 +70% (1)

指針には媒介変数表示利用を考えると書かれているのですが、 もし媒介変数を利用せずに解くならどのように解けるのか別解があれば教えていただきたいです

508 演習 例題 82 直線と平面の交点, 直線と球面が接する条件 (1) 点 (2,4, -1)を通り, ベクトル (3,-1,2) に平行な直線ℓと, 平面α:2x+3y-z=16との交点の座標を求めよ。100& (2)>0とする。 点 (-3, -1, 0) を通り, ベクトル (1,1, k) に平行な直線 解答 (1) l の方程式は (x,y,z)=(2,4, -1)+t(3,-1, 2) から x=2+3t, y=4-t, z=-1+2t (t は実数) が, 点 (0, 2, 3) を中心とする半径3の球面に接するように,定数kの値を 定め、 接点の座標を求めよ。 これらを2x+3y-z=16に代入して よって ゆえに, 00000 F 指針▷ 前ページと同様に、直線上の点の座標に関する問題 媒介変数表示に従っ て考える。 媒介変数t で表した後は, それを (1) 平面の方程式 (2) 球面の方程式に代入し て 媒介変数t の方程式の問題にもち込む。 FRUSTRER ERLA THAHO 2(2+3t)+3(4-t)-(-1+2t)=16 AS t=-1 求める交点の座標は 演習 80 直線l上の点を媒介変数 tを用いて表す。

これが範囲がいらないのはなぜですか？

134.0 を媒介変数とするとき,次の媒介変数表示は,どのような曲線を表すか。 x=cos 0-1 { x = 3 x=2 cos 0 y=3sin0 (2) y=3sin0+2 2 cos' * (1) (4) x=² y=3 tan 0 (5) x=- *(3) 10 cose E x=cos 0 y=cos 20 SA +1, y=2 tan 0

2枚目が(5)の問題の解説になっているのですが、下線を引いた部分の、t＝y/x+1という式がどのように出てきたのか分からず困っています。 tの２乗の式は求められました。 どなたか、説明していただけるとありがたいです。

2 次の式で表される点P(x, y) の方程式を媒介変数を消去して表せ。 。 (1) x=t+1,y=2t-3 (3) x= (5)x= 2 cos o y=3tan0 1+1² y= 1-1²¹ 2t 1-t² (2)x=2cos,y=2sin0 (4) x = 4cos0+1, y = 3sin 01

2sinθになるのがわかりません、、

注 141 研究例題 20 中心が原点で半径1の円Cの外側を半径1の円C が滑ることなく回転する。 上の定点Pの最初の位置をA(1,0), CとC それぞれの中心を結ぶ線分 がx軸の正の部分となす角を0とする。 定点P(x, y) が描く曲線の方程式 を媒介変数0を用いて表せ。 考え方 ベクトルの考え方を用いる。 円 C の中心を0, 円 C と円 C' の接点をBとおく。 ∠BOA=0 で, 右の図で BA-BP より, ∠BOP=8 OP=00¹+0'P =(2cos0, 2sin 0) tot on +(cos(+20), sin (z+20)) =(2cos0-cos20, 2sin0-sin20 ) |x=2cos0-cos20 ly=2sin0-sin 20 この曲線をカージオイドという。 よって, 0 oxe A/ 「P

お願いします

問 6 媒介変数8を用いて x=3 cos8, y=2sine (0≤0≤л) で表される曲線とx軸で囲まれた図形の面積 Sを求めよ。 -3 ya 3 x 191