Question

うさこ

指針には媒介変数表示利用を考えると書かれているのですが、
もし媒介変数を利用せずに解くならどのように解けるのか別解があれば教えていただきたいです

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演習 例題 82 直線と平面の交点, 直線と球面が接する条件
(1) 点 (2,4, -1)を通り, ベクトル (3,-1,2) に平行な直線ℓと,
平面α:2x+3y-z=16との交点の座標を求めよ。100&
(2)>0とする。 点 (-3, -1, 0) を通り, ベクトル (1,1, k) に平行な直線
解答
(1) l の方程式は (x,y,z)=(2,4, -1)+t(3,-1, 2) から
x=2+3t, y=4-t, z=-1+2t (t は実数)
が, 点 (0, 2, 3) を中心とする半径3の球面に接するように,定数kの値を
定め、 接点の座標を求めよ。
これらを2x+3y-z=16に代入して
よって
ゆえに,
00000
F
指針▷ 前ページと同様に、直線上の点の座標に関する問題 媒介変数表示に従っ
て考える。 媒介変数t で表した後は, それを (1) 平面の方程式 (2) 球面の方程式に代入し
て 媒介変数t の方程式の問題にもち込む。
FRUSTRER
ERLA
THAHO
2(2+3t)+3(4-t)-(-1+2t)=16
AS
t=-1
求める交点の座標は
演習 80
直線l上の点を媒介変数
tを用いて表す。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぺんぎん

＿点P(x1、y1、z1)を通り、方向ベクトル(a、b、c)(a、b、c、≒0とする。)の時、当該方向ベクトルに平行な直線の方程式は、
　(x-x1)/a=(y-y1)/b=(z-z1)/c
で表せる。
＿この式の左辺=中央辺？第2辺？から、yとxとの関係式を、左辺=右辺から、zとxもの関係式を導く。
＿これらを、平面の式に代入して、xよ座標を求める。
＿同様にして、yの座標と、zの座標と、を求める。

うさこ

なぜ、a、b、c ≒0とするのですか？

ぺんぎん

＿理由は、2つ。
＿一つは、直線の方程式において、a、b、c、が分母で表されているから。分母が0の分数は、成り立ちませんよね？0に近づく、と言うことなら、極限式で表さなければならないので、分数は使えません。
＿2つめは、a、b、c、の何れか1つが0であるならば、その直線は、x、y、z、直交座標のxy平面上・yz平面上・xz平面上の何れかに平行であって、ユークリッドのxyz直交座標を考える事自体が資源・時間のムダだから。
＿a、b、c、のうち何れか2つが0であるならば、x軸・y軸・z軸の何れかに平行だから、資源・時間の無駄。

ぺんぎん

＿それから、私の回答は、一般的な話しをするために、(a、b、c、≒0)と書いているけれども、設問では、方向ベクトルは(3, -1, 2)なので(a、b、c、≒0)は自明。

Answer 2

たなか

平面なら座標で考えて媒介変数表示を用いずに出来ますが、
空間は難しすぎて無理でしょうね。

ぺんぎん

＿そんなには、難しくない。大きく変わらない。
＿でも、別解を欲しがる人って、学問的興味ではなく、もっと楽したい、という人が殆どで、丁寧に教えても感謝されない事が殆どで、寧ろ、面倒とか、習ってない、とか罵倒されることもあるので、躊躇してしまう。
＿何故、別解が欲しいの？

たなか

え、、難しいだろうと思ってたんですが、
どういう考え方なのか概要だけでも教えてくれないでしょうか、、？

ぺんぎん

＿うさこ　さんに、概要のみ回答しました。たなか　はんなら、概要で分かると思います。

たなか

ありがとうございます！！

うさこ

ペンギンさんへ→
返信するのが遅くなってしまい申し訳ありません。
学校の課題で別解があるのか、という問いに対してレポートを作成する必要があったため質問しました。
私は青チャートの重要例題レベルの問題は解くことですら難しくてこの問題の別解は考えられませんでした。
回答していただきありがとうございました。