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140 方程式の整数解 (1) ･･･ 絞り込み1
00
2x+3y=33 を満たす自然数x, yの組をすべて求めよ。 [類
方程式
方程式x+y+z=10 を満たす自然数x, y, z の組の数を求めよ。 [法政大]
このような不定方程式の自然数の解を求める問題で
・基本 135,136
が自然数 (正の整数)>0, ≧1 という条件を活かし、値を絞る。
(1)方程式から2x=3(11-y)
xyは自然数であるから x0,y>0
2と3は互いに素であるから, 11-y は正の偶数で, yの値が絞られる。
(2) 係数が最大のyについて解き, x≧1, z≧1であることを利用すると
3y=10-(x+z)≦10-(1+1)=8 つまり 3y≦8→これからまずyの値を絞る。
CHART 方程式の自然数解
(1) 2x+3y=33 から
不等式にもち込み 値を絞る
2x=3(11-y) ...... ①
xyは自然数,2と3は互いに素であるから, 11-yは
正の偶数で
yの値はそれぞれ
11-y=2,4,6,8,10
y=9, 7, 5, 3,1
②または②' を ① に代入してxの値を求めると
(2)
13y=33-2x とすると,
絞り込みが面倒。
xの値は,②を ①に代
入するのが早い。
11-y=2(y=9) のとき
2x=3.2
11-y=4(y=7)のとき
2x=3.42
②'
(x, y)=(3, 9), (6, 7), (9, 5), (12, 3), (15, 1)
胴 ①で2と3は互いに素であるから,kを整数とすると
11
から, x=6 など。
x=3k>0, y=-2k+11>0 ･･････
･･･ A より 0<<
2
この範囲にある整数んは
k=1,2,3,4,5
これをAに代入すると,上と同じ解が得られる。
1指針____:
★ の方針。
したがって
3y≤8
x≧1,z≧1であるから
x+1+1
(2)x+3y+z=10 から 3y=10-(x+2)≦10-(1+1)
yは自然数であるから y = 1, 2
[1] y=1のとき, x+z=7を満たす自然数x, z の組は
(x, z)=(1, 6), (2, 5), (3, 4),
(4, 3), (5, 2), (6, 1)
[2]y=2のとき,x+z=4を満たす自然数x, zの組は
(x, z)=(1, 3), (2, 2), (3, 1)
以上から、求める組の数は
6+3=9
よって
方程式 9x+4y= 50 を満たす自然数x, yの組をすべて求めよ。
(x+z)-(1+1)
向きが変わる。
なんで
向きが
変わるの
ですか?
| 方程式4x+2y+z=15 を満たす自然数x, y, zの組をすべて求めよ。
[(2) 京都産大] p.576 EX96、
