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数学 高校生

この問題で①と②の式を立てた後、点Aの位置にかかわらず成り立つことを言っているのですが、これを確かめる必要はなんですか。 教えていただけると助かります。よろしくお願いします。

1 38 複素数平面上の O(0), U (u), V (z) を一直線上にない3点とする. Uを通り線分OU に 垂直な直線と,Vを通り線分OVに垂直な直線の交点を, u, vを用いて表せ. 求める交点をA(α) とすると, 右の図において OULAU, OVLAV である. よって, AはOをUのまわり a-u=px(cos 0(0) にだけ回転し、Uからの距 離を倍した点である. (pは実数) また,AはOをVのまわりにこだけ回転し、Vからの距 離を9倍した点である. (g は実数) したがって, +isin)(-u) =-piu....① a-v=qx(cos+isin)(-0) U(u) pia+giv=u-v……④ 3×v+4×v £h, V(v) =-giv...... ② ここで,AがOをUのまわりに一匹だけ回転し,Uから の距離を倍した点である場合は, a-u-p'x{cos(-)+isin (-2)}(-u) =p'iu であり, '=-かと考えると, ① の式となる. また, AがUと一致する場合は,α=u より, a-u=0 であり,① の式において, p=0 のときである. 以上より,点Aの位置にかかわらず, ① の式が成り立つ. 同様に,点Aの位置にかかわらず, ②の式も成り立つ. ①,②より, α=(1-pi) u=(1-gi)v これより, piu-giv=u-v...... ③ A(a) ここで, ③ の両辺の共役複素数をとると, p, g は実数であ るから, uv+uv-2vv i(uv-uv) に代入して, piuv-piuv-uv-vv-uv-vv pi(uv-uv)=uv+uv-2vv ここで,uv-uv=0, すなわち, uv=uv と仮定すると, uv+uv-2vv=2uv-2vv=2v(u-v)=0 となるが, 0, u, vは一直線上にないから, v=0,uvであ り, 2vu_v=0 となり矛盾する. よって, uv-uv 0 したがって, p= これを α=(1-pi) OULAU または α=u より α-uが純虚数または0とな 0-u ることから, "=pi(ヵは 実数)としてもよい。 0(0) TE V(v) piu-giv=u-v piu-giv=u-v p, g は実数より, p=p,g=g U(u) ①の式において, p<0 と考 える. (1) S A(a) より,ビ p.(-i).u-q (-i)•v=u-v | ③xu+④xu より,gをu, で表し,α=(1-gi)v に代 入してもよい。 < 0, u, ひは互いに異なる複素 数

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世界史 高校生

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4 ナポレオンの政治についての問題です。 地図を見て問いに答えてください。 スウェーデ クおよび王国 k E 31 リスポンダ 「マドリード イギリス国 ジブラルタル ナマス スペイン王国 B D ノルウェー王国 オランダ王国~ C 帝国スイス G were A サルデーニャ 王国 教 JP プロイセン王国 I シャワ大公国 3325 F NA オーストリア帝国 (ナポリ 王国 1) 地図中A~Jはナポレオンに由来する地名 (国名)です。 下の説明文をヒントに語群から地名を選んで記号で書いてください。 <説明文> ボロディノ IRIS H ナポレオンが流刑になった島。 Iの戦いで敗れた後, ロシア帝国 ベッサラビア (1812 ロシア) A ・1769年, ナポレオンはこの島の小貴族として生まれた。 B ・・ここでは, 1802年にイギリスとフランスの和約が結ばれた。 C.・ナポレオンが第一統領としてa) ナポレオン法典を発表した。 ・・b) 1802年, 国民の支持を得て皇帝となったナポレオンはこの国で第一帝政を始めた。 ・イギリスのネルソン提督に敗れた地。 ・ロシア・オーストリア連合軍を破った戦いの地。 D E F G・ライン同盟を結んだことで、この国は消滅してしまった。 (国名です。) H ・・c) 大陸封鎖令を破ったロシアを制裁するため,この地へ遠征するも失敗してしまった。 I ・・1813 年、プロイセン・オーストリア連合軍がナポレオンを破った戦いの地。 J |ア:トラファルガー イ:フランス ウ:モスクワ エ : アミアン |カ アウステルリッツ キ: パリ オ:コルシカ島 ク: 神聖ローマケ:ライプツィヒコ:エルバ島 2) ナポレオンと同時代を生き, 理念に共感して 『ボナパルト』を作曲したが, ナポレオンの皇帝就任を聞き 激怒し、タイトルを 『英雄』 と変えてしまった芸術家を選んでください。 A : ビバルディ B : ベートーヴェン C : モーツアルト D : キダタロウ 3) 下線部a) は全部で何条であったか。 語群から選び, 記号で答えてください。 A 2261条 C 2281 条 D: 2291 条 B2271 条 4) 下線部b)について, 皇帝となったナポレオンは自らを何と名乗ったか。 5) 下線部c)はフランスがどこの国を困らせるために行ったか、 国名を書いてください。 6) 1815年3月, ナポレオンはパリに戻り再び皇帝になりますが6月には退位することになります。 この約3ヶ月間のことを何というか, 漢字4文字で書いてください。 7) 1815年6月, ナポレオンが最後に流刑になったナミビア沖の島の名前を書きなさい。 <別紙資料集> 【図A】 【図B】 【図C】 い) A C え) ★ -B

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数学 高校生

背理法の解き方が全然覚えられないんですけど、どうしたら解けるようになりますか?コツとか何かありますか?

基本例題 61 背理法による証明 P.102 基本事項図 √7 が無理数であることを用いて, 5 +√7 は無理数であることを証明せよ。 指針 無理数である (=有理数でない)ことを直接示すのは困難。 そこで,証明しようとする事柄が成り立たないと仮定して, 矛盾を導き、その事柄が成り立つことを証明する方法, すなわち 背理法で証明する。 CHART 背理法 √5 +√7 が無理数でないと仮定する。 解答 このとき √5 +√7 は有理数であるから, rを有理数とし て√5+√7 とおくと 5=r-√7 両辺を2乗して 5=r²-2√7r+7 ゆえに 2√7r=x2+2 r=0 であるから r2+2 √√7= .....AS 2r PUTERI r2 +2, 2r は有理数であるから、①の右辺も有理数であ る(*) O ・実数・ よって①から7は有理数となり √7 が無理数である ことに矛盾する。 +(\+ã÷1ã)E=(§+\£)(1+ したがって5+√7 は無理数である。 無理数 直接がだめなら間接で 背理法 「でない」、「少なくとも1つ」の証明に有効 5 +√7 は実数であり、 無理数でないと仮定して いるから, 有理数である。 20 2乗して, √5 を消す。 (*) 有理数の和差・積・ 商は有理数である。 FIE=d 有理数 do 矛盾が生 が生じた の仮定, すなわち, [180円(+16(+8かる。 初め じたから, 「√5 +√7が無理数で ない」 が誤りだったと

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