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38 複素数平面上の O(0), U (u), V (z) を一直線上にない3点とする. Uを通り線分OU に
垂直な直線と,Vを通り線分OVに垂直な直線の交点を, u, vを用いて表せ.
求める交点をA(α) とすると,
右の図において
OULAU, OVLAV
である.
よって, AはOをUのまわり
a-u=px(cos
0(0)
にだけ回転し、Uからの距
離を倍した点である. (pは実数)
また,AはOをVのまわりにこだけ回転し、Vからの距
離を9倍した点である. (g は実数)
したがって,
+isin)(-u)
=-piu....①
a-v=qx(cos+isin)(-0)
U(u)
pia+giv=u-v……④
3×v+4×v £h,
V(v)
=-giv...... ②
ここで,AがOをUのまわりに一匹だけ回転し,Uから
の距離を倍した点である場合は,
a-u-p'x{cos(-)+isin (-2)}(-u)
=p'iu
であり, '=-かと考えると, ① の式となる.
また, AがUと一致する場合は,α=u より,
a-u=0
であり,① の式において, p=0 のときである.
以上より,点Aの位置にかかわらず, ① の式が成り立つ.
同様に,点Aの位置にかかわらず, ②の式も成り立つ.
①,②より, α=(1-pi) u=(1-gi)v
これより, piu-giv=u-v...... ③
A(a)
ここで, ③ の両辺の共役複素数をとると, p, g は実数であ
るから,
uv+uv-2vv
i(uv-uv)
に代入して,
piuv-piuv-uv-vv-uv-vv
pi(uv-uv)=uv+uv-2vv
ここで,uv-uv=0, すなわち, uv=uv と仮定すると,
uv+uv-2vv=2uv-2vv=2v(u-v)=0
となるが, 0, u, vは一直線上にないから, v=0,uvであ
り, 2vu_v=0 となり矛盾する.
よって,
uv-uv 0
したがって,
p=
これを α=(1-pi)
OULAU または α=u より
α-uが純虚数または0とな
0-u
ることから, "=pi(ヵは
実数)としてもよい。
0(0)
TE
V(v)
piu-giv=u-v
piu-giv=u-v
p, g は実数より,
p=p,g=g
U(u)
①の式において, p<0 と考
える.
(1) S
A(a)
より,ビ
p.(-i).u-q (-i)•v=u-v
| ③xu+④xu より,gをu,
で表し,α=(1-gi)v に代
入してもよい。
< 0, u, ひは互いに異なる複素
数
