積分の体積の問題です 黄色マーカーで引いたところの解説をお願いします

基礎問 226 123 回転体でない体積(ⅡI) 2⑦ 次の問いに答えよ. 12 (1) 定積分 1fpdt を求めよ。 (2) 不等式 z'+y2+log (1+22) log2 ......(*) で表される立体Dにつ いて (ア) 立体Dを平面 z=tで切ることを考える. このとき, 断面が存在 するような実数十のとりうる値を求めよ. (イ)(ア)における断面積をS(t) とする. S(t) をtで表せ. 立体Dの体積Vを求めよ. (ウ) 第6章積分法 精講 (1) 分数関数の定積分は,次の手順で考えます。 ① ｢分子の次数<分母の次数｣ の形へ ② f(x) ③②の形でなければ、 分母の式を見て 因数分解できれば, 部分分数分解へ (89 因数分解できなければ, tan0の置換を考える (90) (2) 立体Dの形が全くわかりませんが, 122 によれば断面積を積分して求めら れます。 だから立体の形がわからなくても、断面積が求まれば体積は求めら れるのです.そのときの定積分の式を求める作業が(イ)で, 定積分の範囲を求 める作業が(ア)になっています。 1+t2 "'(x) 解 答 (1) Softpdt=f'(1-14ps) at=1-So1tradt 1+t2 ここで, Softpdt において,t=tan0 とおくと 90(1) = S₁³ do = 7 4 -dxの形を疑う (89) 1+t2 t0→1 dt TL 1 do 00-E docosey だから、∫otpad="1+lando cos2d よって,Strat=1- 1+t2 π (2) (ア) (*) z=t を代入して ²+y² ≤log2-log(1+t²) ......① この不等式をみたす実数工、リが存在するこ これが断面が存在す とから, るということ log2-log (1+t²) ≥0 2≥1+t² = 1²≤1 " -1≤t≤1 立体Dの平面 z=t (-1≦t≦1) による断面はxy平面上の不等 式①で表される図形で,これは (半径) が log2-10g(1+1)の円の (イ) 周および内部を表すので 22² +7² {/² S(t)=z{log2-log(1+t)} (→) V=r{log 2-log(1+t²)}dt =2zf"{log2-10g(1+t)}dt =2zlog2-2x(t)'log(1+t)dt =2xl0g2-2x|tlog(1+t)+ 25 24 psdt 21² =4nf1+₁ dt-4(1-4)=(1-x) 4π 1+t2 2 ポイント 演習問題 123 ◆これが z=tで切る ということ 227 <S(t) は偶関数 87 (1) 部分積分 2 注∫_{log2-log(1+t^2)}dt = f_log1fFdtと変形してしまうと 定積分は厳しくなります。 回転体でない体積の求め方は I. 基準軸をとって ⅡI. 基準軸に垂直な平面で切ってできる断面の面積 を求めて ⅢI.ⅡIの断面積を積分する y≧0≦z≦1で表され 4つの不等式x+y-z, る立体Dについて,次の問いに答えよ. (1) 立体Dの平面 z=t による断面の面積S(t) をtで表せ. (2) 立体Dの体積Vを求めよ. 79 第6章

⑴で、どうして dy=1/e e y/e dyとならないのですか？

形の面積 65-267, を果たす。 --g(x)}dx -in 2x x 2π I は, x)の符号 よい。 曲線x=g(y) とy軸の間の面積 基本例題 257 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 yelogx, y=-1, y=2e,y軸 y=-cosx (0≤x≤n), y=-1/2, y=-1₁ でもよい。 解答 (1) y=elogx から -1≤y≤2e CHIC XU •2e 2e kot S=S² e dy=[e-e = 1² ₁ まず、曲線の概形をかき, 曲線と直線や座標軸との交点を調べる。 (1) yelogxをxについて解き,yで積分するとよい。 ･･･xについての積分で面積を求めるよりも、計算がらくになる。 (2)(1) と同じように考えても,高校数学の範囲では y=-cosx を x=g(y) の形にはできない。 そこで置換積分法を利用する。 (1),(2) ともに 別解 のような, 長方形の面積から引く方法 =e.e² - e•e== 3=e³-e¹-1/ (2) y=-cosx75 よっ x=ee π y dy=sinxdx xsinxdx -|-xcosx}"+f" cosxdx COS X π - - - - - - (-1/2) + 5 - 12/12 3 +0= + TC 2 sinx yA 2e e S 練習 ③257 (1) x=y2-2y-3, y=-x-1 (2)y= 1 √x y=1, y= -1 y軸 2' 2 8. ya 1 1 2. O 17 y軸 y 2 2 113 π e² 1 2 2e+1 Y+WA S p.424 基本事項 ③ 3 x=ee 102 ↑ SEX 00000 2 T2 y=–cost π 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 4703 π y x d =2e3+e² || 重要 263 x=g(y) (1) の 別解 (長方形の面積か ら引く方法) S=e²(2e+1) TC 2 常に g(y)≥0 s=g(y)dy -S4(elog.x+1)dx -[e(xlogx-x)+x] + =e³-e¹-² (2) の 別解 (上と同じ方法) S = ²/3 x ² ( 7²2 +²2²) S= 427 T cosx+ 1/1/2)dx Hot CO 8章 38 面積 38 Op.440 EX213

e^x*sinxの積分を教えてください　e^xをuと置換したやり方で計算したら0からπ/2の範囲での積分の答えが違ってしまいました

Dの構造式で、両端を記していない場合、正しい解答とは言えないのでしょうか？ ポリプロピレンなど他の高分子では両端を省略して構造式を書くものしか見たことがないのですが、このような解答である理由があれば、教えていただきたいです。

ベンゼンの水素原子の1つがヒドロキシ基に置換されたフェノールは,工業的には 大部分がベンゼンとプロピレンを原料とした 法により合成される。 フェ ノールはアルコールとしての性質をもつため, ナトリウムと反応するとAを生じ, ① また、無水酢酸と反応させるとBが生成する。 しかし, フェノールは, メタノール やエタノールなどのアルコールとは大きく異なり,酸としての性質ももつ。 また, フェノールのベンゼン環の水素原子は,ヒドロキシ基の効果により著しく置換されや すくなっている。例えば、フェノールに臭素水を加えると,1つの臭素原子との置換 では止まらず、3つの水素原子が臭素原子に置換された化合物 C を生じる。 A の場 合には,フェノールよりもさらに置換反応がおこりやすくなっており,この性質を利 用してAからサリチル酸が合成されている。 置換反応がおこる位置も重要である。 化合物Cの構造から, フェノールの臭素化はヒドロキシ基の (1) Caus O (ウ)位でおこりやすいことがわかる。 この傾向は, フェノールとホルムアルデ 重合でも見られる。 この場合、 まず (1) ヒドとの酸触媒を用いた 位 位と で反応が進行して高分子 D が生成し、これに硬化剤を加えて加熱することにより, 位で結合した (オ) 構造をもつフェノール樹脂が生成する。 この樹脂 は電気絶縁性材料として広く用いられている。

ヨードホルム反応について、3枚目のような反応をするのかなと考えたのですが、答えではヒドロキシ基が酸化されて、カルボン酸塩となっていたので、どのタイミングで酸化されるのか教えていただきたいです。 ヒドロキシ基を持つ化合物でのヨードホルム反応では、必ず酸化が起こるのですか？

次の文章を読んで,設問(1)~(6)に答えよ。 物B をそれぞれ過マンガン酸カリウム水溶液とともに長時間加熱したところ, 化合 分子式 C8H10O で表される三つの芳香族化合物 A, B, C がある。 化合物A と化合 物Aからは化合物 D, 化合物Bからはジカルボン酸である化合物Eが得られた。化 合物Dにメタノールと濃硫酸を作用させるとサリチル酸メチルが得られ, 化合物 E を熱すると無水フタル酸が得られた。 化合物 C にヨウ素と水酸化ナトリウム水溶液 (1) を加えて温めると,黄色沈殿が生じるとともに化合物 F が得られた。 化合物A.C.F の混合物に水を加えてジエチルエーテルで抽出したところ、水層 ア イ が得られた。さらに,塩酸を加 からは が得られた。残ったエーテル溶液に十分量の水酸化ナトリウム水溶 液を加えて再び抽出するとエーテル層から えてこの水酸化ナトリウム水溶液を酸性にしたところ, 離した。 ウが油状となって分 設問(1): 分子式 CgH10O をもつ芳香族化合物のうちヒドロキシ基をもつものは何種類 あるか答えよ。 ただし,鏡像異性体光学異性体) は区別して数えない。 HO- HOMO-M-HM 設問(2):設問(1)の化合物のうち不斉炭素原子をもつものは何種類あるか答えよ。 5-IM-H 設問(3) 設問(1)の化合物のうち塩化鉄(ⅢI)水溶液を加えると呈色反応を示すものは何 種類あるか答えよ。 設問(4) : 化合物 A~F の構造式を図1にならってそれぞれ記せ。 。 +02-—+102-A 11 HO–C—CH–CH—CH, NAD 図1 ND

この問題ですが、［答えは共に②］ オルトパラ配向性を考慮しても、 確率的に低いがメタ位にニトロ基が置換されたものも生じる と思っていましたが、解答を踏まえると、やはり、必ずオルト位もしくはパラ位に置換するのですか。

問2 フェノールを混酸(濃硝酸と濃硫酸の混合物) と反応させたところ、 段階的に ニトロ化が起こり、ニトロフェノールとジニトロフェノールを経由して 2.4,6-トリニトロフェノールのみが得られた。 この途中で経由したと考えられ るニトロフェノールの異性体とジニトロフェノールの異性体はそれぞれ何種類 か。 最も適当な数を,次の ①~⑥のうちから一つずつ選べ。 ただし、同じもの を繰り返し選んでもよい。 ニトロフェノールの異性体 ジニトロフェノールの異性体 19 |種類 20 |種類 ①1 ②2 ③3 ④ 4 ⑤ 5 (6) 6

この問題の不定積分の解法を教えてください。 t=tan（x/2）と置換して計算するのですがうまく行きません。 よろしくお願いします

(2) 1 2 + sin x

遺伝子突然変異で、置換、欠失、挿入がされるのは、mRNAからtRNAのときですか？

黄色蛍光の部分が分かりません。どういう意味ですか？

重要 例題 232 置換積分法を利用 f(x) は連続な関数, α は正の定数とする。 (1) 等式Sof(x)dx=Sof(a-x)dx を証明せよ。 (2)(1) の等式を利用して、定積分 Sox fea-xdx を求めよ。 (2) f(x) = - ex とすると, f(a-x)=caxtex ex tea-x このことと (1) の等式を利用して方程式を作る。 解答 (1) a-x=t とおくと x=a-t ゆえに dx=-dt xtの対応は右のようになる。 よって (右辺)=Sof(a-x)dx=Sof(t) (dt) Sof(t)dt 指針 (1) α-x=t とおくと, 置換積分法により証明できる。 なお,定積分の値は積分変数の 文字に無関係である。すなわち Sof(x)dx = Sof(t)dt に注意。 ea-x であり So f(x)dx=(左辺) Y x 0 →a a → 0 fet (1) 7 00000 基本228 重要 233. ******.. f(x)+f(a-x)=1 - f(x) dx =Sof(x)dx 定積分の使 重要 (1) 連絡 (2) (1) 指針 (1 解答 (1) x= xと 証明

媒介変数表示の曲線の場合に、写真2枚目のθ＝0など、 f'(x)=0でないところで値がどうなるかを考えるのはなぜなのでしょうか。また、その値はどのように決めるのでしょうか。 一枚目などの問題では、そのような条件が増減表に示されてないため、考えるときとそうでないときの違いも教... 続きを読む

00000 基本例題 241 定積分で表された関数の最大・最小(1) ~2x≦2のとき、関数f(x)=f'(r)e" dt の最大値・最小値と、そのときの 基本 239,240 の値を求めよ。 指針 dxf.g(t)dt=g(x) を利用すると,導関数f(x) はすぐに求められる。 よって、f(x) の符号を調べ、増減表をかいて最大値・最小値を求める。 なお、極値や定義域の端でのf(x)の値を求めるには、部分積分法により定積分 (1-t)e' dt を計算して, f(x) を積分記号を含まない式に直したものを利用するとよい。 解答 f'(x)=0 とすると x=±1 よって, f(x) の増減表は次のようになる。 -2 -1 1 0 0 極小極大ゝ また S'(x)=&S(1-t)dt=(1-x*)ex 241 x f'(x) ゆえに したがって - f(x)=S+(1-t) (e^*)'dt =[(1-1"erl +2f, te'dt =(1-x*e* 1+2([terl-Serat) f(2)=1-e² ここで, f(-2)<f(1) であり, f(-1) f(2) の値を比較すると =(1-x2)ex-1+2xex-2(ex-1) =(-x²+2x-1)ex+1 =1-(x-1)'ex よってf(-2)=1-123, f(-1)=1-4, f(1)=1, 9 f(-1)-f(2)= e-4>0 e + f(-1)>f(2) x=1で最大値1, x=2で最小値1-² 2 1 から、f(x)の特号 符号と一致する。 部分積分法 (1回目)。 部分積分法(2回目)。 <S²4-[~ I =8²-1 最大・最小 との値をチェック 増減表から、最大値の候補 は (-2), f(1) 最小値の候補はパール から) ∫(x)=e'costdt (OMx2x)の最大値とそのときのxの値を求めよ。 Ian Ca