61.1 このような記述でも大丈夫ですよね？？

0000 式という えると の2 a+by^- 201 X [日本 2行目の式 1 x 解答 を断ってから 一割る。 なお (1)xを1の3乗根とすると 程式の左 ゆえに x³-1=0 (左辺=2 したがって を入れ 1-1- x この式と 1 ot Hit 基本例題 61 (1) 1の3乗根を求めよ｡ (2)1の3乗根のうち, 虚数であるものの1つをとする。 (ア)2も1の3乗根であることを示せ。 1 えることが 1 指針 (1) (2) (1) w²+w³, +1+1, (w+2w²)²+(2w+w³²)² iznenkok. 2 (2) ア @= これを解いて, 1の3乗根は -1+√3i 2 練習 61 1の3乗根とその性質 基本58 3乗してαになる数,すなわち、方程式x=αの解を,αの3乗根という。 (1)で求めた方程式x=1の虚数解を2乗して確かめる。 (ア) (イ)は方程式x²+x+1=0, x=1の解→ ²+ω+1=0, ω²=1 2 -√3 i 4 口を よって, w2も1の3乗根である。 -91+2 (1) ω は方程式x+x+1=0, x=1の解であるから ω'+ω+1=0,ω'=1 よって x-1=0 または x²+x+1=0 -1+√3 i 2 とすると i 0 ² = ( = 1 + 2√³²)² =. 1-2√3 i+3i²_-1-√3i 2 とすると x³ =1 「POINT｣ 1. w²=(1-√3i)°_1+2√3i+3p _ _1+√3i 2 141 w² (x-1)(x²+x+1)=0 w²+w=(w³)² w+(w³) ² w²=w+w²=-1 w+1+w² w² よって また -=0 W ω'+ω+1=0から, w2=-ω-1 となり (w+2w³)²+(2w+w³)² = {w+2(-w-1)}²+(2w-w-1)² =(-w-2)²+(w-1)²=2w²+2w+5 +1= =2(-ω-1)+2+5=3 00000 (1) 200+50 (3) (w200+1)100+(ω100+1) 10 +2 3次方程式の解は複素数の 範囲で3個。 ω はギリシャ文字で､ オ メガ」と読む。 (検討) x=1の虚数解のうち、どち としても,他方が となる。よって、1の3乗根 it 1, w, w¹ ω'=1 を利用して, 次数を 下げる。 ω=-ω-1 を利用して、 次数を下げる。 12(w²+w+1)+3=2-0+3 としてもよい。 1の虚数の3乗根の性質 ①2+ω+1=0 ② ω'=1 がx2+x+1=0の解の1つであるとき,次の式の値を求めよ。 1 1 w² p.110 EX44 99 2章 11 高次方程式

55.2 値の知れないQ(x)を消したいからx^2-1=0としたいけどx=iと置いていいのか躊躇しました。求めるxが整数、自然数、有理数とか書いてなければx=iとおいてもいいのでしょうか？

-3x+71 求めよ。 る。......... -1)(x-2) りを考える。 った余りは、 弐または定数 て 1,2 b,cの値 りを見つける 1式)から ■ち b=3 ここの練習5 効である。 を ったときの すると, (-2)(x) 2) +R(x)) a)+R( 代入。 5であ 38 ► 重要 例題 55 高次式を割ったときの余り (1 x"-1 を (x-1)²で割ったときの余りを求 2以上の自然数とするとき, めよ｡ (23x100+ 2x7 +1 を x2 +1 で割ったときの余りを求めよ。 指針 実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。 p.88~90 でも学習したように, ① 割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用 R の次数に注意, B=0 を考える がポイント。 (12) ともに割る式は2次式であるから、余りは ax+b とおける。 (1) 割り算の等式を書いてx=1 を代入することは思いつくが, それだけでは足りない。 そこで、 次の恒等式を利用する。 ただし, nは2以上の自然数, α=1, 6°=1 α-b²=(a-b)(a-1+α-26+α"362+..+ab^2+b^-1) |x-1=(x-1)'Q(x) +ax+b••••• ① (2)x+1=0の解はx=±i x=iを割り算の等式に代入して,複素数の相等条件 A, B が実数のとき A+Bi=0⇔A=0, B=0 を利用。 両辺にx=1 を代入すると ①に代入して x-1=(x-1)*Q(x+ax-a =(x-1){(x-1)Q(x)+α} 解答 (1) x-1 を (x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余りをax+b 解 (1) 二項定理の利用。 とすると,次の等式が成り立つ。 x-1={(x-1)+1}"-1 0=a+b すなわち b=-a ここで, x-1=(x-1)(x"-1+x"-2+・・・・・・+1) であるから xn-1+xn-2+..+1=(x-1)Q(x)+α この式の両辺にx=1 を代入すると 1+1+ ······ +1=α a=n よって b=-αであるから ゆえに, 求める余りは nx-n (2) 3x100+2x+1 を x² +1 で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b (a,b は実数) とすると,次の等式が成り立つ。 3x100+2x+1=(x2+1)Q(x)+ax+b 00000 3・1+2i+1=ai+b 4+2i=b+ai n 両辺にx=i を代入すると 3i100+ 27 +1=ai+b i100= (i2)50=(−1)=1, "= (i²) i=(-1)*i=i であるから すなわち a,b は実数であるから したがって 求める余りは 2x+4 [学習院大 ] a=2, b=4 b=-n 基本 53.54 =Cn(x-1)^+..+n Cz(x-1)2 +mCl(x-1)+1-1 =(x-1)^{(x-1)^^2+..+°Cz} tron ゆえに, 余りはnx-n また, (x-α)の割り算は微 分法(第6章) を利用するのも 有効である (p.305 重要例題 194 など)。 微分法を学習す る時期になったら,ぜひ参照 してほしい。 x=-iは結果的に代入し なくてもよい。 実数係数の整式の割り算で あるから、余りの係数も当 然実数である。 練習 (1) n を2以上の自然数とするとき, x” を (x-2)で割ったときの余りを求めよ。 (p.94 EX39 55 (2) xlo+x+1 を x2 +4で割ったときの余りを求めよ。 91 2章 10 剰余の定理と因数定理

複素数平面です。次に～からの外分の解説部分が分からなくなってしまいました。教えて頂けると助かります。

練習 異なる3点O(0), A(α), B(β) を頂点とする △OAB の慣用 126 は次の等式を満たすことを示せ。 OA=|α|=a, OB=|B|=b, AB=|β-α|=c とおく。 また,∠AOB の二等分線と辺ABの 交点をD(w) とすると AD: DB=0A:OB=α:b ゆえに よって W= したがって ba+aß a+b よって 次にPは線分OD を OA AD に外分する点であるから OP:PD=OA: AD=a: (146c)=(a+b):c OP: OD=(a+b): (a+b-c), Bla+lalB 2= lal+IBI-B-al a+b a+b-ca w= a+b a+b-c Ba+aß z= |a|+|B|-|B-α| `--8--7 ba+aß a+b D. B ba+aß a+b-c こするとき、 傍心は1つの頂点の内角 の二等分線と,他の2つ の頂点の外角の二等分線 の交点である。 ←角の二等分線の定理。 ←これより,Pは線分 OD を (a+b):cに外分 する点であるから -c.0+(a+b)w a+b-c 2=- としてもよい。 (1) J

この問題から赤ペンの式(特に1番上)はどのように出ているのでしょうか？数3です

mil√3 ** 60 複素数平面上で zo=1+i が表す点を A とし, zo と α= 6 z=αzo が表す点を A1 とする。 以下、同様に zn=0zn-1 (n=2, 3, ......) が 表す点を An とするとき, △OA-1A の面積 Sn (n≧1) を求めよ。 S 8 また, Sn を求めよ。 ただし, Oは原点である。 MED n=1 X- + 1/12/2 の積 〔類 03 同志社大 〕

別解においては z+1/z^2 が実数である条件に|z|=1を組み込んでいるのでそのまま式変形したら二つの条件を満たす解が出てくると思います。 もう一つの方は |z|=1よりzzー=1 を使ってz+1/z^2 が実数である条件に|z|=1を組み込んでいるのにそのまま別解のよ... 続きを読む

類 東北学院 は条件を 3 =z-3 a-B|=1 上の3点 が2の正 2√3 重要 例題 5 複素数の実数条件 z+1 学院大学 絶対値が1で , 指針> z+1 解答 すなわち 両辺に(z) を掛けて よって |z|=1 より zz=1であるから z+z²=2+(z)² ゆえに zzz(z)=0 なお,よって を掛けてゆえに よい。 複素数 αが実数⇔ α =α を利用する。 (2+1)=2+1 から得られるz, えの式を,|2|=1 すなわち=1 を代入することで簡単 121=1 → にする。 なお、 z=1から得られる z=- またはえ=1/2 を利用し,zのみまたはえのみ の式にして扱う方法も考えられる。 が実数であるための条件は z+1_z+1 [1] z-z=0のとき α+β [1][2] から 65 この方程式を解くと 練習 が実数であるような複素数zを求めよ。 別解 zz=1から (z_z) (1+z+2)=0 zz = 0 または 1+z+z=0 z=±1. A z+1 x= z²(z+1)=(z)²(z+1) 2.2z+2²=2.2z+(z)² 2 別解 Z=2 よって, z は実数であるから, |z|=1 より z=±1 [2] 1+z+z=0のとき 2+2=-1&dtß = ~ また, z=1であるから, z, は2次方程式x2+x+1=0のx²-(和)x+(積) = 0 解である｡ dB=~ -1±√√3i 2 == 2 2+2²=2+1 −1± √√1²-4∙1 2･1 z+1 22 よって -1± √√3 i 2 z+1 ゆえに, Aは よって これを解いて z=±1, · 121=1==122=1&11711172 (2+1) = 2#12 #1112113 ztl ztl Z2 両辺に2を掛けて (z+1)(z-1)(z2+z+1)=0 -1±√3i 2 αが実数⇔ α =α (B)=²₁ a²=(a)² 00 z-z+(z+i)(z_z)=0 α, β が複素数のときも αβ = 0 ならば = 1/2 + ( ²¹2 ) ² = ²² 基本2 が成り立つ。 α = 0 または β=0 =2+z 2³ (2+1)-(2+1)=0 12³-1 z2z(z+1)=z+1 解の公式を利用。 ZZが解となっているがつに仕え という複素数がに11,ERS 満たしてるのでその手ま答えになる つまり、変形した式ははにし、基E脂満たす複素数の式 絶対値が1で、2-zが実数であるような複素数zを求めよ。 =(z-1)(z2+z+1) 17 1章 複素数平面 [類 関西大] (p.18 EX6

写真の問題の赤線部についてですが、 z,p,qをそれぞれ、OZ→,OP→,OQ→と定めると、(以下、矢印記号は省略します)z=p+qtはOZ=OP+tOQとなることから、赤線部のようなことは言えないのではないのでしょうか？もし、1番下のポイントに書いてあるように関係式が、O... 続きを読む

28 直線 (ⅡI) 複素数平面上に2点 α=1+2i, β=2+i が与えられている.この2 点を通る直線上の点zは,実数t を用いて, z=(1+t)+(2-t)i と表せ ることを示せ. △△ xy平面で考えるとαとは (1,2)のことで, βとは (2,1) のことだから, 求める直線は, 2点 (1,2),(2, 1) を通る直線になります. このイメージで解答をつくっていけばよいのです. 精講 **** 20 47 解答 ポイント α限が一直線上にあることを 表している。 3 1 O a 複素数平面上の2点α, βを通る直線は z=a+(β-a)t (t: 実数)と表せる PS 22 z-a=t(β-α)より、 子供え z=α+ (B-α)t =(1+2i)+(1-i)t =(1+t)+(2-t)i 今回で 注 この結果を逆に考えれば, z=x+yi において, x,yがパラメーメニド 夕tの1次式で表されているとは直線上を動いていて, z をt につ いて整理すれば z = p+gt (p,q: 複素数)と表せ, zの軌跡は点が を通り,傾き q方向に動いてできる直線になります. ( 演習問題28) 47210 1 2 3 IC のイメージ 直az=ta の豆は直線上 にある。 ImHg

大学受験の過去問です。回答教えて欲しいです！

次の問題1 は 1 以下の問いに答えよ。 の中に解答を書くこと｡ (1) a,bを実数として、 複素数 1-v 1+V2 (2) 2次方程式2+3c-1=0の2つのをaとするとき, of af +82= ある。 また、公差は fo (3) 初境が6で未項が16の等差数列があり、 すべてのが90 となるとき､数は のは の形に表すと、 である。 特式f(d=22-5-3 を満たす関数f(x)は である。 である。 - である。 212 3 人 となる。 (5) Blogs logs 50g 計算すると / である。 また, log2 5 x logs 3 x log」 8 を計算すると 3 wysostora. のとき、y=cos 20 +2sin 01 の最大値は である。 また、 5回投げたとき､点Pが1より右の位置にいるは 15 3 (6) 出たときは左へ2だけ進むものとする。さいころを3回投げたとき、点Pが点いる確率は である。 で 定数aの値は である。 また、そのときの (7) 数直線上で、点Pは点Oを出発し、さいころを投げて4以下の目が出たときは右へ」だけ進み、他の目が 3 である。 次の問題 2 は卵に至るまでの計算過程を書くこと。 20h=(2,-1),OB=(1,3), 06 (7,7) のとき、次の問いに答えよ。 T (1) a, B を実数として、0+801と表すとき,の値を求めよ。 (7.7)=d(2,-1)+B(1,3) 7=0+3B7=-X+9 d=2、B=3 △OAB において、辺ABと直線OCの交点をPとするときを実数としてOP=OCとせるの 値を求めよ。 (2) 直線BC上を点Qが働いて行くとき, PC が最小となるような点の座標を求めよ

至急お願いします！ 複素数平面を使ってこの問題を教えて欲しいです！

52 右の図のように, △OAB の外側に,正方形 OACD と正方形 OBEF を作る。 このとき, AF⊥BD であ ることを証明せよ。 A B F E

（2）の解説で印が付けてあるところで、何故最大値、最小値を与えるzが解説のように求められるのかが全く分かりません。 教えてください！

基礎問 1 29 円(I) 複素数zは|z-(1+i)|=1 ...... ① をみたしている。このとき,次の 問いに答えよ. (1) 点zは複素数平面上で,どのような図形をえがくか. (2) | z-2|の最大値、最小値とそれらを与える”を求めよ. 精講 2 (1) ① は点1+iと点zの距離はつねに1であることを示しています。 (22)|z2|は点と点2の距離を表します. 解答 (1) 点zと点1+iの距離は1だから, zは点1+iを中心とする半径1の円をえがく. (2) P(z),A(2) とおくと, | z-2|は線分APの長 さを表すので, A と 1 + i を通る直線と円 |z-(1+i)|=1 の交点を図のように B, C とする と,APの最大値は AC で, 最小値は AB よって, 最大値は √2+1, 最小値は√2-1 次に, α=1+i,β=1 -i とおくと, 最大値を与え るこは、 = 1−i a+√(-B) = 1 + i-1-i_ (√2-1)+(√2+1)i at √√2 √2 (2-√2)+(2+√2) i 2 また, 最小値を与えるは 100 a+ -β=1+i+ +i+1 1−i_ (√2+1)+(√2 − 1)i √2 √2 ky (2+√2)+(2-√2)i 2 注 最大値 最小値を与えるはベクトルのイ メージ (19) で求めています。 右図のように, D(1+i), E(1-i) とおくと, YAC O B D(1+i) 1 B 2 E(1-i)

(3)の解き方を教えてください！！

■ 次の2次式を、 複素数の範囲で因数分解せよ。 (1) 2x2+4x-1 (3) x2-6x+2=0 (2) 3x²-2x+2 (4) x2+4x+7