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338
00000
基本 211
基本例題 215 3次関数のグラフと面積
関数 y=2p-s-2x+1のグラフとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
CHART & SOLUTION
面積の計算 まずグラフをかく
① 積分区間の決定
3次関数のグラフと面積の問題でも、方針は2次関数の場合と変わらない。
3次関数のグラフとx軸の交点のx座標を求めて、 積分区間を決める。
→交点のx座標は 2.x-x-2x+1=0 の解。
inf面積を求めるために解答にグラフをかくときは, 曲線とx軸との上下関係と、交点の
座標がわかる程度でよいから、微分して増減を調べる必要はない。
よって
② 上下関係を調べる
曲線 y=2x^²-x^²-2x+1とx軸の交点のx座標は, 方程式
2x-x-2x+1=0 の解である。
f(x)=2x-x-2x+1 とすると f(1)=2-1-2+1=0
f(x)=(x-1)(2x2+x-1)
=(x-1)(x+1)(2x-1)
f(x) = 0 を解いて x=1, -1, -1/1
ゆえに, 曲線は右の図のようになるか
ら 求める面積Sは
s=S² (2x²− x² −2x + 1) dx
+₁(−(2x²-x²–2x+1)} dx
-1
- [£* - - * + x] - [ € - -ײ+x]
x2-
3
y4
1
PRACTICE 215 8
次の曲線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
(1) y=x-5x2+6x
0 1 1 x
2
−²² (4- )*- } ( )*-( )*+¦ } -(² + 3-2)-(2-3)
71
48
因数定理
◆組立除法により
2 -1 -2
~x/d++) f(x)=x²(2x-1)-(2x-1)
=(2x-1)(x-1)
=(2x-1)(x+1)(x-1)
2 1-1
2 1 -1 0
あるいは
11
としてもよい。
← 2つ目の定積分は,一を
外に出すと, 1つ目の定
積分と被積分関数が同
じ。
← [F(x)] - [F(x)]*
(2) y=2x3-5x2+x+?
=F(c)-F(a){F(b)-F(c)}
=2F(c)-F(a)-F(b)
inf 定積分は分数計算など煩雑な計算が多い。 解答の(*)のようにF(x) に代入する値は
まとめて,計算の工夫をする。
The The
7:16-07-2:12
に
1-12 051
曲線 y=-x+5x 上に点A(-1, -4) をとる。
日本 例題 216 曲線と接線で囲まれた部分の面積
el
(1) 点Aにおける接線の方程式を求めよ。
(2) 曲線 y=-x°+5x と接線l で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
CHART & SOLUTION
(2) まず, 3次曲線と接線の共有点のx座標を求める。
f(x)-g(x)=a(x-a)(x-β)が成り立つ。
3次曲線 y=f(x)(x2の係数がα) と直線y=g(x)がx=αで接するとき,
(ここで、Bはy=f(x) と y=g(x) の接点以外の共有点のx座標)
(1) y'=-3x2+5 であるから, 接線l の方程式は
y-(-4)={-3(-1)2+5}{x-(-1)}
11
すなわち y=2x-2
(②2) 曲線と接線lの共有点のx座標は、方程式
x+5x=2x-2 すなわち x-3x-2=0 の解である。
ゆえに
(x+1)(x-2)=0
ゆえに,図から求める面積Sは
よって
x=-1,2
s=S_{(-x+5x)-(2x-2)}dx
= f_(-x+3x+2)dx
=-X+2x+2x27
3
4
y₁
el
ORACTICE 216
曲線C:y=-x+4xとする。
部
x
基本 214215
INFORMATION
定積分の計算の工夫
s=f(x+3x+2)dxの計算はp.319 基本例題 203 と同様に,次のように計算す
るとスムーズである。
s=S_(-x'+3x+2)dx=-(x+1)(x-2)dx
(4)
339
曲線と接線ℓ は x = -1
で接する (重解をもつ)
から, (x+1)^2を因数に
もつ。 よって,
x³-3x-2
=(x+1)^(x+α)
とおけ,定数項を比較し
てa=-2
=f(x+1)^{(x+1)-3}dx=-S°_^{(x+1)-3(x+1)}dx(x+1) の形をつくる
--[(x + 1)²-(x + 1)² -- +27=4
= [(x+1)*
81
C上の点(13) における接線と曲線Cで囲まれ
7章
25
LEI
積
