と、次の
3
3章
13
1 2次不等式
重要
例題
120 連立2次不等式が整数解をもつ条件
000
xについての不等式x2-(a+1)x+α <0,3x2+2x-1>0を同時に満たす整数x
がちょうど3つ存在するような定数 αの値の範囲を求めよ。
t
[摂南大〕
基本 37 117
①まず,不等式を解く。不等式の左辺を見ると、2つとも因数分解ができそう。
なお,x2-(a+1)x+α <0は文字αを含むから, αの値によって場合を分ける。
②数直線を利用して、題意の3つの整数を見定めてαの条件を求める。
CHART 連立不等式 解のまとめは数直線
x2-(a+1)x+a<0 を解くと (x-a)(x-1)<0 から
α <1のとき a<x<1
α=1のとき 解なし
α>1のとき 1<x<a
①
3x2+2x-1>0を解くと (x+1)(3x-1)>0から
x<-1.1/23<3
①,②を同時に満たす整数x がちょうど3つ存在するの
は α <1 または α>1
の場合である。
[1] α <1 のとき
3つの整数xは
x=-4, -3, -2
[1]
(2)
-51-4-3-2-1011
1α=1のとき,不等式は
(x-1)20
これを満たす実数 x は
存在しない。
実数 A に対し
A2≧0 は 常に成立。
A'≦0 なら A = 0
A°< 0 は 不成立。
基本
解答
0は2枚
なお、
別するた
している。
よって -5≤a<-4
a
[2] α>1のとき
[2]
a
8
3
13
2
x
x
<-5<a<-4としないよ
うに注意する。
a<x<-1の範囲に整数
3つが存在すればよいか
ら, a=-5のとき,
-5<x<-1となり条件
を満たす。
●3
4
3つの整数xは
よって
x=2,3,4
4 <a≦5
[1], [2] から, 求める α
-1 0 1 2
113
の値の範囲は -5≦a<-4,4<a≦5
+5
[2]のα=5のときも同
様。
(01-)=(x2)
不等号にを含むか含まないかに注意
検討
上の例題の不等式がx2-(a+1)x+α ≦ 0, 3x2+2x-1≧0 となると, 答えは大きく違ってく
る (解答編 p.96 参照)。 イコールがつくとつかないとでは大違い!!
