-
![]()
C
2
1
I
●10 対称点
原点を0とする複素数平面上に, 0 と異なる点A(α), および, 2点O, Aを通る直線がある .
(1) 直線に関して点P(z) と対称な点をP'z') とするとき, '=が成り立つことを示せ .
(2) α=3+iとする. β=2+4i, y=-8+7i を表す点をそれぞれB, C とおく.
点Bの直線Zに関して対称な点を B'(B') とする.β'を求めよ.
線分OA 上の点Q(w)について, ∠AQB=∠CQO が成り立つときのwを求めよ.
(九工大工)
(2-1)
(2-2)
原点を通る直線に関する折り返し
実軸に関する対称点はすぐに分かる
(バーをつけるだけ. zz)ので,実軸に重なるようにOを中心に回転さ
せて考える. l (x軸を回転したもの) に関して対称な位置にあるP(z),
P'(z') については, 0回転を表す複素数をwとすると, P, P'を回転した
が実軸に関して対称であるから, ()=
* Q ( ² ). Q ( ² )
点Q
w
W
ことができる.
よって,
w
解 答言
(1) arga=0 とおくと,P,Pを0のまわりに -0回転して得られる2点Q, や上図を参照.
Q'は実軸に関して対称である.
a=|a| (cos0+isin0) であるから, 0回転を表す複素数は、
39
z'
9
w
:. z'=w.
t=
2
w
(2) (21)(1)により, B'=
(22) B'とBは1に関して対称であるから,
∠AQB'=∠AQB=∠CQO
=
3+i
3-i
w-
α, B, y, β' の具体的な値から、右図のようにな
り 3点 B', Q, Cは同一直線上にある. よって,
w=(1-s)β'+sy (sは実数)
とおけ, w=(1-s) (4−2i) +s(-8+7i)
w
=2
a
(2-4i)-4-2i
a-
=4-12s+(9s-2)i
QはOA上にもあるから, w=ta=t(3+i) =3t+ti (tは実数)
とおける.これらが等しいから, 4-12s=3t, 9s-2=t
10
4
:. S=
.. w=t(3+i)=
13
12 4
·+·
13
13
C(Y)
i
YA
w
a (=wとおく)
|a|
OF
ととらえる
B(B)
a
A(α)
B'(B')
Q(w)
←
w
YA P(z)/1
401
A*•P(z^)
w
00
CL
a
8¹(%)
10-10i
3-i
=(1-i) (3+i)=4-2i
(10-10i) (3+i)
10
OQ=(1-s) OB'+sOC
4-12s=3(9s-2)
