第8章 数列
考え方 2つの数列を具体的に書き並べると, 共通項の規則が等比数列{bn}に見えてくる。
a43
A10 a11 a12
{an} a1 A2 A3 A4
128
29 32 35
2 5 8 11
4 8
2
16
32
64
128
{bn} 616263 64
b5
b6
b7
b8
つまり、共通項は, b, by, be, bs, ......と予測され,共通項の数列{C} は, bz を初項
とし,その後,数列{bn} から1つおきに取り出した数の列であると考えられる.
***
例題270 等差数列と等比数列に共通な数列
08 等差数列 2,5,8,
{an},等比数列 1, 2, 4, ...…..を{bn} とすると
き,{an} と {bn} に共通な項を小さい順に並べてできる数列{cn}の一般項
を求めよ.
解答
な
調べて
主
en T
る
1
......
α=2, b2=2より、共通項の数列{C}の初項は, C1=b2=2 である.
{an} は初項2,公差3の等差数列より,
an=3n-1
{bn} は初項1,公比2の等比数列より,
bn=2n-1
{an}の第l項と{bn}の第m項が等しい, つまり、a=bm とすると,
3l-1=2m-1
・①
bm+1=2"=2.2m-1 に ① を代入すると,
bm+1= 2(3ℓ-1)=3(2ℓ-1)+1
となり, {an}の項ではない.
bm+2=2+1=4.2"-' に ① を代入すると,
bm+2=4(3ℓ-1)=3 (4ℓ-1)-1
等差数列{比
3n-1の形に表せない.
となるから, {an}の項である.
このことと 62 が{an}の項であることから, 62+2=64 も {an}の項である.
by が {an}の項であるから, ba+z=be も {an}の項である.
以下同様に考えると,共通項{cn}は, bz, ba,b6, 68, .....である.
よって, 共通項の一般項は, Cn=62n=22n-1
|3n-1の形に表せる.
