xに関する2次方程式 xー (m-7)x+m=0 の解がともに正の整数である
「数学A基本106, p.70 基本事項」
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(類名城大)
とき,m の値とそのときの解を求めよ。
係
CHART
OLUTION
方程式の整数解
(整数)×(整数)=(整数) の形にもち込む
2つの正の整数解をa, Bとすると, 解と係数の関係から
α+8=m-7, a8=m
…の
2次方程式xー(m-7)x+m=0 の2つの解を α, B (αsB)
とすると,解と係数の関係により
inf.]方程式を変形すると
m(x-1)=x°+7x
xが正の整数ならば右辺が
正。ゆえに xキ1 である。
解答にあるとおり,
aB=m であるから, mも
正の整数である。
-x*+7x
解答
α+β=m-7, aB=m
α+8=a8-7
mを消去すると
よって
a8-a-B=7
(α-1)(B-1)-1=7
(α-1)(B-1)=8 0
a, Bは正の整数であり, α£B であるから
0Sa-1S8-1
ゆえに
よって, m=
『よって
x-1
=x+8+-8
x-1
よって, ①から
8
も正の整数。
から
x-1
すなわち
(a, B)=(2, 9), (3, 5)
したがって
m=a8 であるから
(a, B)=(2, 9) すなわち m=18 のとき x3D2, 9
(a, B)=(3, 5) すなわち m=15 のとき x=3, 5
x-1=1, 2, 4, 8 から
x=2, 3, 5, 9
このとき、m の値は順に
m=18, 15, 15, 18
となるから m=15, 18
INFORMATION 不等式で範囲を絞り込む方法
係数が整数なら「整数解ならば実数解 であるから 判別式 DZ0(必要条件)」によっ
て,係数の整数値を求め, その中から整数解をもつものを絞り込んでいく方法がある。
(p.69 EXERCISES 35 (2) 参照)
この例題では,解と係数の関係から mは整数であることがわかるが, 判別式
D={-(m-7)}-4m=m'-18m+4920 からでは絞り込めない。
