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164 四面体 (Ⅱ)
座標空間に2点A(2, 2, 3), B(4, 3, 5) をとり, AB を1辺と
する正四面体 ABCD を考える.
(1) AB, AB AC を求めよ.
よって, PC・PD=9t-9t+-
また,|PC|=|AC-tAB|
=|AC-2tAB・AC+f|AB
=9t2-9t+9
(3)|PD|=|AD-tAB=912-9t+9 だから
PC・PD
(2)辺AB をt (1-t) に内分する点をPとするとき, PC･PD,
|PC を tで表せ.
(3)∠CPD=0 とおくとき, Cos を tで表せ.
(4) cose の最小値と, そのときのtの値を求めよ.
cos 0=
|PC||PD|
18t2-18t+9
2(9t2-9t+9)
2t2-2t+1
212-2t+2
1
1
(4) cos 0-1-
=1
2t2-2t+2
精講
(1) AとBしか与えられていないのに, AB AC が求まるのか?と
思った人は問題文の読み方が足りません.
☆+
3
2
<わり算をすること
で,分子の次数を下
げる
「正四面体」と書いてあります. 正四面体とは, どのような立体
でしょうか.
よって、t=1/12 のとき,最小値 /
(2)163 のポイントをもう一度読みなおしましょう.
(3)空間でも, ベクトルのなす角の定義は同じです.
解答
(1) AB= (2,1,2) だから,
|AB|=√4+1+4=3
また, △ABCは正三角形だから,
∠BAC=60° |AC|=|AB|=3
..AB.AC=|AB||AC|cos 60°
=3312=
9
3.3.11-11 2
(2) PC=AC-AP=AC-tAB
PD=AD-AP=AD-tAB
∴. PC・PD=(AC-tA) AD-tAB)
B
=AC・AD-tAB AC-tAB・AD+2|AB|2
AACD, △ABDも正三角形だから
AC・AD=AB・AD=AB・AC=1/27
「ポイント
正四面体とは, 4つの面がすべて合同な正三角形であ
る四面体
演習問題 164
正四面体の性質
注 正三角すいと正四面体は異なります .
正三角すいとは,右図のように,
1つの面は正三角形, その他の面は,
合同な二等辺三角形であるような四面
体です.
D
正四面体 ABCD の辺 AB, CD の中点をそれぞれ, M, N とし,
線分 MN の中点を G, ∠AGB=0 とするとき, AB=2 として次の
問いに答えよ.
(1) GA, GB AB, AC, AD を用いて表せ.
(2)/ |GA|, |GB|, GA・GB の値を求めよ.
( 3 ) cos0の値を求めよ.
