設問
右の図のように,2点A,Bで交わる2円において,Aを
通る直線がその2円と交わるA以外の交点をそれぞれP, Q
とする。 さらに, 2点P, Q における円の接線をそれぞれ引き,
その2接線の交点をCとおく。
(1) 4点 B, C, P, Q は同一円周上にあることを証明せよ。
(2) AP = AQ のとき, AP'=AB AC であることを証明せよ。
解答
(1) APBAにおいて接弦定理より
∠CPA=∠ABP
△QAB において接弦定理より
∠CQA=∠ABQ
よって
∠PCQ + ∠PBQ
=∠PCQ+ ∠ABP + ∠ABQ
=∠PCQ+ ∠ CPA+ ∠CQA
P
=180°
であり, 4点B, C, P, Q は同一円周上にある。
(2) 4点 B, C, P, Q を通る円と直線
AB の B 以外の交点をDとおくと,
円周角の定理より
∠DCQ=∠DBQ
P
P
D
(証明終)
Q
S
(1)より, CQA=∠ABQ なので
∠DCQ=∠CQA
よって, CD // PQ である。 これと,C,
D, P, Q は同一円周上の点なので,
四角形 CPQD は等脚台形である。
ここで, AP = AQより, △ADC は AC = AD の二等辺三角形で 等脚台形は上底の中
点,下底の中点を結ぶ
あるから 方べきの定理より
AP AQ=ABAD
直線に対して線対称
である。
.. AP2 = AB・AC
このことはCとDが一致する場合も成り立つ。
Q
( 証明終)
Q
同一円周上にあるため
の条件は向かい合う内
角の関係を考えるわけ
だが,接線が絡んで
いるので,接線と角の
関係が使える接弦定
理が有効。
錯角が等しい。
