次の数列の初項から第n項までの和を求めよ.
(1) 1, 1+2, 1+2+3,
(2) 1・n, 2·(n-1), 3.(n-2), 4·(n-3),
[考え方
|解答
よって,
・・・・・・
数列の和の計算の基本は, 第k項を求めることである.
(1) 第k項ak が
ak = 1+2+3+ ...... +k
のように, 数列{k}の初項から第k項までの和で表されている.
そのため,第k項を求める段階でも和の公式を用いる.
(2) 2つの数を足すと, 1+n=n+1,2+(n-1)=n+1,3+(n-2)=n+1,
より, n +1 になるので, 第k項の右の数をxとすると, k+x=n+1 より,
x=n+1-k
これより, 第k項は, k (n+1-k) となる.
(1) 与えられた数列の第k項をak, 求める和を Sn とすると,
第k項は,
ax=1+2+3+......+k=
-k=1⁄/k(k+1)
=
Sn=2an=2-½ k(k+1) = ¹ # (k²+k)
k=1
2k=1
......
1/1/2+1/2/21
'+
ck
2k=1
11
1
• 2/2 + = n(n + 1) (2 n + 1) + ²/2 + 1/{ n(n+1)
2
+ n(n+1){(2n+1)+3}
12
= n(n+1)(n+2)
(2) 与えられた数列の第k項を αk, 求める和を Sn とすると,
第k項は, an=k(n+1-k)
k=1
初項1, 公差1,
項数kの等差数列
の和
k=1
(an+bn)
k=1
= Σak+Ebr
k=1
k=1
2n(n+1) *<
くる.
よって, Sn=an = k(n+1-k)=(n+1) k-k2k(n+1-k)
k=1
k=1
=(n+1)._—_n(n+1)_ __n(n+1)(2n+1)
={_n(n+1){3(n+1)−(2n+1)}
= n(n+1)(n+2)
n(n+1)
=1/12mm(n+1)x2
=(n+1)k-k²
んについての和な
のでnは定数
11/1/2n(n+1)
|=1n(n+1)x3
