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DOO
AB、
00000
平面上に原点から出る, 相異なる2本の半直線 OX, OY (∠XOY < 180°上に
要 例題 27 角の二等分線とベクトル
それぞれ0と異なる2点A, B をとる。
(1)a=0A, 6=OB とする。 点Cが XOY の二等分線上にあるとき,
実数(0) とα で表せ。
(2) XOYの二等分線と XAB の二等分線の交点をPとする。 OA=2,
0B=3,AB=4のとき, OPをa と で表せ。
[類 神戸大] 基本 24
(1)ひし形の対角線が内角を2等分することを利用する。 OA' =0B'=1となる点 A', B'
そんな半直線 OA, OB上にとり, ひし形 OA'C'B' を作ると, 点Cは半直線 OC'
上にあるOC=FOC (t≧0)
(2)(1)の結果を利用して,「OPを2通りに表し、係数比較」
の方針で。
P は XABの二等分線上にあるAA'=aである点 A' をとり、(1)の結果を使うと,
AFは,で表される。 OP=OA+APに注目。
ここのベクトルは
423
→ひし形になる→同じ大きさ(おわり)
答
と同じ向きの単位ベクトル
それぞれ OA OB' とすると
1章
4
位置ベクトル、ベクトルと図形
Y
B
別解 (1) XOY の二等分
線と線分AB との交点Dに
161 C
OA'== OB'=
対し, AD: DB=|a|: |6| か
B'
lal
Dal
C
5 OD=>
OA'+OBOC とすると,四角形
0-A'
AX
a
6 OA+a OB
|a|+161
ab a+
OA'C'B' はひし形となる。
Tal
a+ba b
点Cは, XOY すなわち ∠A'OB' の二等分線上にあるか
ら、半直線OC' 上の点である。
点Cは半直線OD 上にあるか
5 OC=kOD (k≥0)
ab
よって、実数(≧0)に対し OCHOC=t
(+)
そこで
-k=t とおく。
(2)点P は XOYの二等分線上にあるから, (1) より
OP=t
132
+
3
これを解いてs=8, t=6
3
したがって OP =3a+26
AA'である点 A' をとると、点PはXAB の二等分線上
にあり、AP=s
AB AA'
(≧0) であるから
+
AB AA
OP=ON+AP=d+ (6=2+2)-(1+1+1/6
Taxであるから 1/12=1+1/4/1 1-1
Ta+16
Y.
tzo ar Bis
大きさが
違う
4.
3
072-A-2-AX
単位ベクト
使
練習
△OAB において,|OA|=3, |OB|=2, OA・OB=4とする。 点Aで直線OAに
27 接する円の中心Cが∠AOBの二等分線上にある。 OC をOA=d, OB= で
[ 類 神戸商大 ]
