例題3 漸化式で与えられる数列の極限
次のように定められる数列{an}について, liman を求めよ。
n-00
考え方
解
a=1, an+1=
漸化式の両辺の逆数をとり, = b, とおくと,数列{bn}についての漸化式を
an
導くことができる。
an+1
すべてのnについて an> 0 となるから, 漸化式の両辺の逆数をとると,
1_an+1_1 +1
an
an
an
an+1
よって,
このとき,
bn+1=bn+1, b₁=1=1
数列{bn}は,初項 b1=1, 公差 1 の等差数列であるから,
bn=1+(n-1)・1=n
(n=1, 2, 3, .....)
1
- = b, とおくと,
an
an=
1_1
bn
n
12 00
1
n→∞ n
liman=lim
i=0