254 第4章 三角関数
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例題 139
三角方程式の解の個数 大題①関 川88**
aを定数とする。0に関する方程式 cos°0-sin0ta+l=0 について
この方程式の解の個数をaの値の範囲によって調べよ.ただし,
0S0<2π とする。 >D JS
考え方 三角関数の方程式なので, まず種類を統一する.ここでは, sin0にそろえる。
t=sin0 とおくと,tの2次方程式の解の個数の問題となるので,aを分離して2っ
のグラフの共有点を考えるとよい.ただし,求めるのは0に関する方程式の解の個数
であるから,tとθの対応関係に注意する。
(1-sin'0)-sin0+a+1=0° ① -02sin°0+cos'0=1
-1St<1n-B200S+0 0<0<2π より。
-1Ssin0<1
解答 与式より,
ここで, sin0=t とおくと,
のは,
このtの方程式が解をもつのは,2つのグラフ
y=t°+t-2 とy=a が -1Stハ1 で共有点をもつときで
ある。
+t-2=a
せ
a(定数)を分離する。
ロ-1
1\?
ソ=+t-2=(t+-
9
4 ソ=+t-2
y=a
(vi)
y=+t-2 と y=a の位
置関係と,そのときの
t=sin0 との対応は右の2つ
のグラフのようになる。
-1 2
ソ=t+t-2 と y=a
0
のグラフの関係から
(iv)
はtの2次方程式の
解の個数しかわから
ないので,下のよう
に t=sin0 のグラ
-2
よって, 求める解の個数は,(ii)
9
4
=-つまり。
(vi)
9
4
フも対応して考える。
=ーのとき。
(日) -<a<-2 つまり, く
-1く<ー
2個
t4
(vi)
2
9
を解い
{(iv)
1
<t<0
2
0
2'
2元
に1個ずつのとき,
() a=-2 つまり,t=-1, 0
のとき,
(iv) -2<a<0 つまり, 0<t<1 に1個のとき,
(v) a=0つまり, t=1 のとき,
4個
3個
(vi)
-1
2
2個
1個
9
0<a つまり,共有点がないとき,
(vi) aく--
4
0個
Focus
sin0=t とおき換えた慢合
t の店
のA
ミと
