n=19を満たす組のうちx<y<zを満たす組が何通りなのかを求める問題なのてすが、2枚目の写真のマーカー部分が分かりません。

1 x+y+z=n(n は正の整数) をみたす正の整数の組(x, y, z) について,次の問いに答えよ。 □(1)n=19のとき, (x,y,z) の組は何通りあるか。 そのうち, x,y,zのいずれか2つ が等しい組,x<y<z をみたす組はそれぞれ何通りあるか。 □ (2) nが6の倍数であるとき x<y<zをみたす (x, y, z) の組は何通りあるか。 ('12 岐阜薬科大・改)

確率苦手すぎてわかりません助けてくれる心優しい方お願いします🙇‍♀️

R 問5 右の図のように、3つの箱P, Q, R があり、 箱Pには1,2,4の数が1つずつ書かれた 3枚のカードが, 箱Qには3,5,6の数が 1つずつ書かれた3枚のカードがそれぞれ入っており, 箱Rには何も入っていない。 大小2つのさいころを同時に1回投げ, 大きい さいころの出た目の数をα, 小さいさいころの 出た目の数をbとする。 出た目の数によって, 次の 【操作1】, 【操作2】 を順に行い, 箱Rに 入っているカードの枚数を考える。 MP 2 【操作】 カードに書かれた数の合計が αとなるように箱Pから1枚または2枚のカードを取り 出し, 箱Qに入れる。 *- (0) 【操作2】 箱Qに入っているカードのうち6の倍数が書かれたものをすべて取り出し, 箱Rに入 れる。ただし、6の倍数が書かれたカードが1枚もない場合は, 箱Qからカードを取り 出さず, 箱Rにはカードを入れない。 ナト MIR 例 大きいさいころの出た目の数が5, 小さいさいころの出た目の数が3のとき、a=5, b=3である。 このとき,【操作1】 により, カードに書かれた数の合計が5となるように箱Pから 1と4のカードを取り出し, 箱Qに入れる。 次に, 【操作2】により, 箱Qに入っているカードのうち3の倍数が書かれたものである 3と6のカードを取り出し, 箱Rに入れる。 この結果、箱Rに入っているカードは2枚である。 (ア) 箱Rに4と書かれたカードが入っている確率を求めなさい。 いま、図の状態で, 大, 小2つのさいころを同時に1回投げるとき、 次の問いに答えなさ い。 ただし, 大, 小2つのさいころはともに, 1から6までのどの目が出ることも同様に確から しいものとする。 (各5点) 331415 (イ) 箱Rに入っているカードが2枚となる確率を求めなさい。 11/00 Q 2 2 4 5 6

順列の（5）の問題で、条件処理（各位の数の和が9）みたいなのするんですけど、こんなの地道にやってたら、時間かかりすぎて、15分はかかります。おかしいです。簡単に解く方法あったりしないんですか？

全部で何個 36の倍数 高位に0を並べないことに から4個取る順列」と考え である。 0123.0234のような数も含 (4) の位に0以外の1~5から1つ選ぶ。 .......... ■位は、0 を含めた残りの5個から3個取って並べる。 数 (次ページの参考参照)であることを利用する。 を取るか 考え, 0 を含む組と含まない組の場合に分ける。 であるから, (2) のうち, 2の倍数を考えればよい。 を含め 2400より大きい整数 M4.5のときの場合に分けて考える。 解答の図を参照してほしい。 4 桁の整数 を並べないように注意 ■が3の倍数 に並べる順列の Ⅰ0 以外 54 数の組は 1), ① 百田日 0 以外 千 に入れた数を除いた残り 5個から3個取って並べる (5通り)×(sPs 通り) 最初は0も含めて計算し 後で処理する方法。 4個の数の順列では, 0123 このような数を含むから、千 の位が0になる□ロロの 形の数を除く。 条件処理。 (ⅲiⅰ) 0.0.00 43,16 4×5P2 よって 5 BERRO の倍 の位が 1210g を含 よって、 100 3 (2) Fo 百十 である よって したがっ 5の の 9の 6P3=1201 6 よって, 求める個数は [別解 [1] 千の位が3, 4,5,6の場合 2500 より小さい整数 4-3 4×P2=4×5.4=80(個) 120+80 200 (個) [2] 26□□, 25□□の形の場合 4×P3=4×6･5・4=480 (個) ゆえに, 2500 以上の個 める個数は 720-520-200 (1) (5) 9の倍数となるための条件は、 各位の数の和が9の倍数にな ることである。 そのような4数の組は (0, 1, 2, 6), (0, 1, 3, 5), (0, 2, 3, 4), (3, 4, 5, 6) [1] 0 を含む3組の場合の整数の個数 →200 2×P2=2×5.4=40(個) よって, [1] の場合の個数は [2] (3,4,56) の場合 整数の個数は よって 求める個数は 7個の数字 0, 1, 2,3,4,5,6 を重複することなく用いて4桁の整数を作る。 次 のものは,それぞれ何個できるか。 (1) 整数 1つの組について,千の位は0以外の数であるから、この場 合の整数は 3×3!=18(個) 18×3=54 (個) 練習 男子4人, 女子3人がいる。 次の並び方は何通りあるか。 ② 13 (1) 男子が両端にくるように7人が1列に並ぶ。 (2) 男が隣り合わないようにな! (3) 久子のうち2人だけが隣り合うように7人が1列に並ぶ。 P2=4・3=12 (通り) (1) 男子が両端に並ぶ並び方は そのおのおのについて, 残り5人がその間に並ぶ並び方は 5!=120 (通り) したがって 求める並び方は 12×120=1440 (通り) 0-4 ( 25の倍数 T9の倍数 41=24 (個) 54+24=78 (個) (3) 3500より大きい整数 ·1-5 -2-4 4-2 3 (p.321EX10 ← (2500より) 1-(5)-(~~ という方針 P.S 練習 6個の数字 1, 2,3,4, 14 (1) 初めて 300000 以上 (2) 300 番目の数を答え (1) 初めて300000 以上に □□□□□の形のもの □□□□□」の形のもの よって, 312456は (2) (1) から, 100000 f 13通りで､ した。 について んでも構わない。 31□□□□ の形のも □□□□の形のも 341□□□の形のも □□□の形のも 以上の合計は したがって,300番 であるから 345 300 番目の数を 300 5!×2 から 4!×2 から ② 3!×2+2!×0 2番目の2で 数となる。 ゆ よって,300m 0 15 練習 右の図の。 にも同じ Kを求め

⑴でどこが間違っているか教えて欲しいです🙏

でないとき, 大きい方の数 この数 48で割 k+7) こに着目し が大きい -････ を代 を探す. 85 目し 代入 より、 よって 求める整数解は 1272 x=-3k+1,y=4k-1 (kは整数) 次の不定方程式の整数解を求めよ. (1) 63x+29y=1 これに②を代入して, vg-1-11- (1) 方程式 63x+2y=1 ・・・･･･ ① の係数 63 と 29 につ いてユークリッドの互除法を用いる。 63=29×2+5 より 295×5+4 より 54×1+1 より, ④③ を代入して, 5-(29-5×5)×1=1 5x6-29×1=1 $I-+|+0 ( 63-29×2)×6-29×1=1 63-29×2=5 ...... ②8 |29-5×5=4... ③ =x 5-4×1=1 ......④ したがって, 63×6+29×(-13)=1......⑤ ①-⑤ より 63(x-6)+29(y+13)=0 (2) 73x-26y=3 63(6-x)=29(y+13 ) ......6 63と29 は互いに素であるから, 6-x は29の倍数と なる. 10 したがって, kを整数として 6x=29k, すなわち, |x=-29k+6 これを⑥に代入すると, 63×29k=29(y+13) 63k=y+13 より よって、求める整数解は, x=-29k+6,y=63k-13(kは整数) y=63k-13 ①⑤ より (2) 方程式 73x-26y=3 いてユークリッドの互除法を用いる. 73=26×2+21 より, 73-26×2=21 ......2 26=21×1+5 より 26-21×1=5......③ より 21=5×4+1 より, ④③ を代入して, SIZM 21-26-21×1)×4=1 21×5-26×4=1 これに② を代入して、つまり、 201 73×15-26×42=3 (18) ( 73-26×2)×5-26×4=1 したがって, 73×5-26×14=1 両辺に3を掛けると, 21-5×4=1 ......④ …① の係数 73 と 26 につ①の特殊解は見つけにくいの で,まず, ユークリッドの互 73(x-15)-26(y-42)=0 73(x-15)=26(y-42) 7326は互いに素であるから,x-15は26の倍数と る. 73k=y-42 より, y=73k+42 よって、求める整数解は, したがってんを整数として, x-15=26k, すなわち, x=26k+15 これを⑥に代入すると, 73×26k=26(y-42) |x=6, y=-13 が ① の解の 1つ 10 除法を用いて, ①の右辺を1 とおいた方程式 73x-26y=1の特殊解を求 める. |x=5, y = 14 が 73x-26y=1の解の1つ (6) 12x=15, y=42 が①の解の1 両辺に3を掛けて、 ①の特殊 解を求める. :656 of -in 150 11=M

(1)なのですがどうして蛍光ペンで引いたところは3mを使ってはいけないのですか

95*nが自然数のとき,次のことを数学的帰納法を用いて証明せよ。 □ (1) 22n-1+1は3の倍数である □ (2) n²+5nは6の倍数である 教p.40 応用例題一

解説して頂けると嬉しいです💦🙇‍♀️

連続する 3 整数の積 AMX ( 1,02 は整数とする。 n +5は6の倍数であることを証明せよ。 n ポイント③3 連続する整数の積の性質(下の画車協会認) を利用できるとう

この問題で27-8をする意味がわかりません教えてください！

252数学 A 練習 大,中, 小3個のさいころを投げるとき, 次の場合は何通りあるか。 (2) 目の積が6の倍数 39 (1) 目の積が3の倍数になる場合 (1) 目の出方は全部で 6×6×6=216 (通り) 目の積が3の倍数になるのは,3個のさいころの目の少なくと も1つが3または6の目の場合である。 3個のさいころの目がすべて3と6以外の目である場合の数は 4×4×4=64 (通り) よって, 求める場合の数は 216-64=152 (通り) (2) 目の積が6の倍数になるのは,目の積が3の倍数であり、か つ,3個のさいころの目の少なくとも1つが偶数の場合である。 よって, (1) の結果から目の積が奇数の3の倍数となる場合を除 けばよい｡ 目の積が奇数の3の倍数になるのは, 3個のさいころの目がす べて奇数であり, その中の少なくとも1つが3の目の場合であ る。 3個のさいころの目がすべて奇数になるのは 3×3×3=27(通り) 13個のさいころの目が1または5の場合は 2×2×2=8 (通り) ゆえに、目の積が奇数の3の倍数になるのは 27-819 (通り) よって, 求める場合の数は 152-19133(通り) 練習 10 ユーロ, 20 ユーロ, 50 ユーロの紙幣を使って支払いをする。ちょ ②10法は何通りあるか。 ただし、どの紙幣も十分な枚数を持っているも てもよいとする。 ゆえに 支払いに使う 10 ユーロ, 20ユーロ, 50 ユーロ紙幣の枚数 それぞれx,y,zとすると, x,y,zは0以上の整数で 10x+20y+50z=200 すなわち

4行目のn(B)=(66-17)+1とありますが、 100以下の6の倍数は100÷6=16で16個になると思いました。なぜ17なのでしょう、😣🌀 解説お願いいたします🙇🏻‍♀️

4 100 以上 400以下の自然数のうち,次のような数は何個あるか。 (1) 4の倍数または6の倍数 (2) 4の倍数でも6の倍数でもない数 (3) 4の倍数であるが6の倍数でない数 100 以上400 以下の自然数全体の集合をひとし,Uの部分集合で､4の倍数全 体の集合を A, 6の倍数全体の集合をBとすると A={4･25, 4·26, , 4・100},B={6･17, 6・18, ....., 6･66} ....., …………, n(A)=(100-25)+2=76, n(B)=(66-17)+1=50 よって (1) 求めるのは n (AUB) でn (AUB)=n(A)+n(B)-n (A∩B) A∩B は 100 以上 400 以下の12の倍数全体の集合であるから A∩B={12.9, 12・10, ..., 12･33} よって ゆえに n(A∩B)=(33−9)+1=25 n(AUB)=n(A)+n(B)-n (A∩B) =76+50-25=101 (個) (2) 求めるのはn (A∩B) である。 n(A∩B)=n(AUB)=n(U)-n (AUB) ={(400-100)+1}-101 =200 (個) 答 (3) 求めるのは n (A∩B) である。 n(ANB) = n(A)-n(ANB) =76-25 =51 (個) PU U C B D

121.2.イ 記述の場合、 「法5と3は互いに素だから、」 という記述は必要ですか？？

494 演習 例題 121 合同式の性質の証明と利用 (1) p.492 基本事項の合同式の性質 2, および次の性質 5を証明せよ。 ただし は整数, m は自然数とする。 5aとが互いに素のとき ax=ay (modm) x=y (modm) (2) 次の合同式を満たすx を, それぞれの法mにおいて, x=a (modm)[aは より小さい自然数] の形で表せ (これを合同方程式を解くということがある)。 (ア) x+4=2 (mod6) (イ) 3x≡4 (mod 5 ) p.492 基本事項③3) 指針 (1) 方針は p.493 の証明と同様。 ■ (mod m) のとき, ■はmの倍数である。 合同式 加法・減法・乗法だけなら普通の数と同じように扱える (2) (イ)「4≡(mod5) かつが3の倍数」となるような数を見つけ, 性質5を適用する。 解答 (1) 2 条件から, a-b=mk,c-d=ml (k,lは整数) と表され a=b+mk, c=d+ml よって a-c=(b+mk)-(d+ml)=b-d+m(k-l ゆえに a-c-(b-d)=m(k-l 5 ax=ay (modm) ならば, ax-ay=mk(kは整数)と表 され a(x-y)=mk aとは互いに素であるから x-y=ml (lは整数) よってx=y (mod m) (2)(ア) 与式から x=2-4 (mod 6 ) -24 (mod6) であるから (イ) 49 (mod5) であるから, 与式は 法5と3は互いに素であるから 2040 よって a-c=b-d (mod m) x=4 (mod6) 3x=9 (mod 5) x=3 (mod 5) の倍数 → = ▲k(kは整数) <pg が互いに素でpk が α の倍数ならば、k はgの倍数である。 性質2. 移項の要領。 1-2-4-6 (6の倍数) また, 推移律を利用。 性質5を利用。 検討 合同方程式の問題は表を利用すると確実 (2)(イ)については,次のような表を利用する解答も考えられる。 別解 (イ) x=0, 1 2 3 4 について, 3xの値は右の表 のようになる。 3x=4 (mod5) となるのは, x=3のと きであるから x=3 (mod5) 注意 合同式の性質5が利用できるのは, 「a と が互いに素」であるときに限られる。 例えば, 4x4 (mod 6 ) ① については, 4 と法6は互いに素ではないから, ① より x≡1(mod6) としたら誤り! x 0 1 2 4x 0 x 0 1 2 3 4 3x 0 3 6 1 9=4 12=2 表を利用の方針で考えると、 右の表からわか るようにx=1, 4 (mod6) である。 x = (mod m) または x = (modm) を 「x=a, 6 (modm)」と表す。 ] a 3 5 4 8=2_12=0_16=4 20=2 4 (1) p.492 基本事項の合同式の性質を証明せよ。 練習 3 121 (2) 次の合同式を満たすx を, それぞれの法mにおいて, x=α (modm) の形で 表せ。 ただし,αはmより小さい自然数とする。 (ア)x-7=6 (mod 7) (1) 4x=5 (

118.1 問題を見た時にn(n+1)はわかりますが nを2kと2k+1とおこう、 とはどこからそう思うのですか？

488 基本例題 118 連続する整数の積の性質の利用 (1) 連続した2つの整数の積は2の倍数であることを証明せよ。 (2) 連続した3つの整数の積は6の倍数であることを証明せよ。 が奇数のとき, nnは24の倍数であることを証明せよ。 (3) (2) は (1) , (3) (1), (2) の性質を利用してよい。 MA 指針 (1), (2) 連続した2つの整数には偶数が, 連続した3つの整数には3の倍数が含まれる。 解答 以下, kは整数とする。 (1) 連続する2つの整数をn, n+1とし, A=n(n+1) とする。 [1] n=2k のとき A=2k(2k+1) [2] n=2k+1のとき A=(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(k+1) したがって, Aは2の倍数である。 (2) 連続する3つの整数をn-1, n, n+1とし, B=(n-1)n(n+1) とする。 (1) より, 連続する 2 整数の積は2の倍数であるから,Bは2 の倍数である。ゆえに,Bが3の倍数であることを示せば, 連続したn個の整数には、nの倍数が含まれる この性質は証明なしに用いてもよいが,基本例題117 と同じように考えてみよう。 (3) (1),(2) 性質が利用できるように n を変形する。 を因数分解すると n³_n=n(n²−1)=n(n+1)(n−1)=(n−1)n(n+1) Bは6の倍数であることが示される。 [1] n=3k のとき,Bは明らかに3の倍数である。 [2] n=3k+1のとき n-1=(3k+1)-1=3k [3] n=3k+2のとき n+1=(3k+2)+1=3(k+1) よって, n, n-1, n+1のいずれかが3の倍数となるから, Bは3の倍数である。 したがって, Bは6の倍数である。 (3) が奇数のとき, n=2k+1と表される。 n n³_n=(n−1)n(n+1)= (2k+1)(2k+2) =4k(k+1)(2k+1)=4k(k+1){(k−1)+(k+2)} =4{(k−1)k(k+1)+k(k+1)(k+2)} 00000 ...... より, 1(+1), k(k+1)(k+2) はともに6の倍数 であるから, a,bを整数とすると, ① より n³-n=4(6a+6b)=24(a+b) よって, nが奇数のとき, n-nは24の倍数である。 基本 117 In が偶数なら n+1は奇数。 nが奇数なら n+1は偶数。 連続する3つの整数をn, n+1, n+2としてもよい｡ 注意 (2) では,nを6k 6k+1, .....6k+5の6つ の場合に分けることも考え られるが,これは面倒。 (検討) 連続したn個の整数の積は n! の倍数である ことが知られている。 n=2k-1としてもよい。 ◄(k-1)k(k+1), (k+1)(+2) はともに 続する3 整数の積。