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例題 B1.64 n≦k を仮定する数学的帰納法
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+am²)=nanan+1
数列{a} はすべての自然数nに対して,3(a'+a2+
を満たし a=2 である.このとき,一般項 α, を推測し,これを証明せよ。 素
「考え方」 まずは具体的に書き出して一般項 α, を推測し,それが正しいことを数学的帰納法で
証明する.n=k のとき,3(a +α++α)=kakak+1となり,推測した an
解答
(n≦k) を a,a2,
のため, a, A2,
...., ak に代入して ak+1のときも成り立つことを示せばよい. そ
のすべてを仮定する必要がある [
3(ai'+az² +....+am²)=nanan+1
① で n=1 とすると,
・① とおく.
3a²=1 a1a2
a=2より,
a2=6
①で n=2 とすると,
3(ai2+a22)=2a2a3
wwwwwww
a=2, a2=6 より
a3=10
①で n=3 とすると,
3(ai'+a2+a3)=3a3a4
す
=
a=2, a2=6, a=10より, a=14
したがって、数列{a} は,初項 2,公差4の等差数列、つ
まり 一般項an は,
an=2+(n-1) ・4=4n-2
と推測できる.
…②
ついて考え
を計算する。
②を数学的帰納法で証明する.
(I) n=1のとき, a1=4・1-22 より ②は成り立つ .
(II)n≦k を満たすすべての自然数nについて ②が成り立
つと仮定すると, ae=4l-2 (l=1,2,
①で n=k とすると,
3(a^2+a2+....+a)=kakak+1
k
k)
・③
(③の左辺)=32(4e-2)=32(160-16ℓ+4)
l=1
l=1
=3/16.12k(k+1)(2k+1)-16-1/2k(k+1)+4k}
=k{8(k+1)(2k+1)-24(k+1)+12}
=4k(4k²-1)=4k(2k+1)(2k-1)
・④
(③の右辺)=k(4h-2)ak+1=2k(2k-1)ak+1
を作るのがポイ
1を代入す
a,a2,......, ak に
ついての仮定が必要
になる.
・⑤
これにより
ak+1
④ ⑤より 4k(2k+1)(2k-1)=2k(2k-1)ak
したがって,
ak+1=2(2k+1)=4(k+1)-2
となり, n=k+1 のときも②は成り立つ.
(I), (II)より、すべての自然数nについて, an=4n-2
2k (2k-1)(0)
両辺を割る.
第1
