次のものを求めよ。
おける法線の方程式
三有点のうち,点 (2,-1/4)
コ, f(a)) における法線の方程式
1
-(x-a)
f'(a)
と曲線の方程式を連立させて
E
ーる接線の傾きは
=1
ある。
星式は
-(x-2)
以外の点の座標
p.327 基本事項
y=f(x)/
YA
法線の傾きをmとすると
mxf'(2)=-1
よってm=-
洗
= -0
・法線
基本 例題
207 2曲線に接する直線
| 2つの放物線y=-x2, y=x2-2x+5の共通接線の方程式を求めよ。
指針
1つの直線が2つの曲線に同時に接するとき, この直線を2つの曲線の共通接線
いう。
① 一方の曲線 y=f(x)上の点A(a, f(a)) における接線の方
程式を求める。
[2] ① で求めた接線が他方の曲線 y=g(x) と接する条件から,
aの値を求める。
接する重解の利用。
他にも検討で示したような解法も考えられる。
y=-x2 に対して y'=-2x
解答よって,放物線y=-x2 上の点
(a, -α²) における接線の方程式は
y-(-a²)=-2a(x-a)
すなわちy=-2ax+a² ①
この直線が放物線y=x2-2x+5に
も接するための条件は、 2次方程式
x2-2x+5=-2ax+α² すなわち
x2+2(a-1)x-a²+5=0 ② が重解をもつことであ
D=0
る。ゆえに,②の判別式をDとすると
D
-=(a-1)²-1-(-a²+5)=2a²-2a-4-2(a+1)(a-2)
......
......
基本 204 重要 208 演習 231
接する
V
(a,-a²)
接する
y=-x-x
(a,-a²)
y=g(x)\\
| 接線が求めやすい方
を指針の手順 ①
y=f(x) とするとこ
y=x²-2x+5y-f(a)=f'(a)
よって
ゆえに
(a+1)(a-2)=0
a=-1, 2
この値を①に代入して、求める共通接線の方程式は
y=2x+1,y=-4x+4
接する
y=f
接する
y=x2-2x+5
y=-2ax+α²
