Question

キト

接線の単元です。接する⇔重解という記述が引っかかっています。2枚目の写真ではどうしてこの解き方を使っていないのか、と言うのがよくわかりません。

次のものを求めよ。
おける法線の方程式
三有点のうち,点 (2,-1/4)
コ, f(a)) における法線の方程式
1
-(x-a)
f'(a)
と曲線の方程式を連立させて
E
ーる接線の傾きは
=1
ある。
星式は
-(x-2)
以外の点の座標
p.327 基本事項
y=f(x)/
YA
法線の傾きをmとすると
mxf'(2)=-1
よってm=-
洗
= -0
・法線
基本 例題
207 2曲線に接する直線
| 2つの放物線y=-x2, y=x2-2x+5の共通接線の方程式を求めよ。
指針
1つの直線が2つの曲線に同時に接するとき, この直線を2つの曲線の共通接線
いう。
① 一方の曲線 y=f(x)上の点A(a, f(a)) における接線の方
程式を求める。
[2] ① で求めた接線が他方の曲線 y=g(x) と接する条件から,
aの値を求める。
接する重解の利用。
他にも検討で示したような解法も考えられる。
y=-x2 に対して y'=-2x
解答よって,放物線y=-x2 上の点
(a, -α²) における接線の方程式は
y-(-a²)=-2a(x-a)
すなわちy=-2ax+a² ①
この直線が放物線y=x2-2x+5に
も接するための条件は、 2次方程式
x2-2x+5=-2ax+α² すなわち
x2+2(a-1)x-a²+5=0 ② が重解をもつことであ
D=0
る。ゆえに,②の判別式をDとすると
D
-=(a-1)²-1-(-a²+5)=2a²-2a-4-2(a+1)(a-2)
......
......
基本 204 重要 208 演習 231
接する
V
(a,-a²)
接する
y=-x-x
(a,-a²)
y=g(x)\\
| 接線が求めやすい方
を指針の手順 ①
y=f(x) とするとこ
y=x²-2x+5y-f(a)=f'(a)
よって
ゆえに
(a+1)(a-2)=0
a=-1, 2
この値を①に代入して、求める共通接線の方程式は
y=2x+1,y=-4x+4
接する
y=f
接する
y=x2-2x+5
y=-2ax+α²

332
重要 例題 208 2 曲線が接する条件
|2曲線y=x-2x+1と y=x2+2ax+1 が接するとき,定数aの値を求める
また,その接点における共通の接線の方程式を求めよ。
「指針
解答
「2曲線が接する」とは,2曲線が1点を共有し,かつ,共有点
における接線が一致することである(この共有点を2曲線の接
点という)。
2曲線y=f(x), y=g(x)がx=pの点で接するための条件は
「接点を共有する
f(p)=g(p)
接線の傾きが一致する f'(p)=g'(p)
f(x)=x²-2x+1,g(x)=x2+2ax+1 とすると
f'(x)=3x2-2, g'(x)=2x+2a
2曲線がx=pの点で接するための条件は
f(p)=g(p), f'(p)=g'(p)
p-2p+1=p2+2ap +1
よって
3p2-2=2p+2a
2a=3p²-2p-2
② から
これを①に代入して
p³-2p+1=p²+(3p²-2p-2)p+1
p=0, 1/1/20
ゆえに p²(2p-1)=0
よって
③から
p=0のとき α = -1, p=
2
曲線 y=f(x) 上の点x=pにおける接線の方程式は
y-(p²-2p+1)=(36²-2)(r-n)
のとき
a=
9
<f(p)=g(p)
接点を共
条件
f'(p)=g(p)
接線の傾
致する
<a を消去する。
# EXERCISES
② 130 曲線 y=x-ax²(aは正の
つしか存在しないとき αG
の方程式を求めよ。
グラフは、次の
る。
③131 座標平面上の2つの曲線
の共有点における各接線
③ 132 関数 f(x)=x-6x2+4=
をとる。 点Aにおける
るとき、次の問いに答
(1) baを用いて表
(2) 接線lが点 (2,
(3) α (2)で求めた値
③ 133 f(x)=2x2-4x+3,g
y=g(x) の両方に接す

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

1枚目は2次関数2つだから、
2次方程式が重解をもつということで、
判別式を考えれば済みます

一方2枚目は3次関数があるので
3次方程式になります
3次以降は重解をもつ条件は難しいので
別の考え方を使っています

キト

もやもやと考えていたことがしっかり確認できて安心しました！ありがとうございます！