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基礎問
256 第8章 ベクトル
165 四面体 (Ⅱ)
座標空間に2点A(2, 2, 3), B(4, 3, 5) をとり,ABを1辺と
する正四面体 ABCD を考える.
(1) AB, AB AC を求めよ。
(2) 辺AB をt (1-t) に内分する点をPとするとき,PC・PD
|PC をt で表せ.
△
(3) ∠CPD=0 とおくとき, coseをtで表せ。
(4) cose の最小値と,そのときのtの値を求めよ。
精講
(1) AとBしか与えられていないのに, AB AC が求まるのか?と
思った人は問題文の読み方が足りません。
「正四面体」と書いてあります. 正四面体とは,どのような立体
でしょうか.
(2)164のポイントにあるように, 平面 PCD で切って平面の問題にいいか
ます。
(3)空間でも, ベクトルのなす角の定義は同じです.
解答
正四面体だから
(1) AB= (2,1,2) だから,20
|AB|=√4+1+4=3
また, △ABCは正三角形だから,
∠BAC= =2, |AC|=|AB|=3
:.AB.AC=|AB||AC|cos/5
3
1 9
=3.3.
2
2
(2) PC=AC-AP=AC-tAB
PD=AD-AP=AD-tAB
B
△ACD, △ABDも正三角形だから
AC·AD=AB·AD=AB·AC= 9
1-10 正四面体の性質
2
よって、PC・PD=912-9t+2
9
また,|PC|=|AC-tAB|=|AC|-2tAB・AC+AB
257
A
92-9t+9
(3)|PD|=|AD-tAB=92-9t+9 だから
正四面体だから
(1)
PC・PD
18t2-18t+9
cos =
|PC|PD| 2(912-9t+9)
2t2-2t+1
2t2-2t+2
(4) cos0=1-
1
COS 212-2t+2
すべて等し距離
品
1
+-
+
2
<わり算をすることで,
分子の次数を下げる
1
よって,t=1/2 のとき,最小値 1/3
ポイント
正四面体とは, 4つの面がすべて合同な正三角形であ
る四面体
注 正三角すいと正四面体は異なります.
正三角すいとは, 右図のように,
A
1つの面は正三角形, その他の面は,
合同な二等辺三角形であるような四面
体です.
B
1-t
演習問題 165
・PC・PD=(AC-AB) (AD-AB)
=AC・AD-tAB・AC-tAB・AD+LAB
1
正四面体 ABCD の辺 AB, CD の中点をそれぞれ, M, Nとし,
線分 MN の中点を G, ∠AGB=0 とするとき, AB=2 として次の
問いに答えよ.
(1) GA, GB を AB, AC, AD を用いて表せ.
(2)|GA, GB GA・GB の値を求めよ.
(3) cose の値を求めよ.
このとき
第8章
