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列題 35
絶対値を含む不等式の証明
次の不等式を証明せよ。
た。等身が。
(2) |x|-lylslx+yl
え方 絶対値を含むので,このまま差をとるよりも,
例題29 のように,両辺を平方して差をとれば
よい。
く絶対値の性質>
A (A20)
-A (A<0)
1A|
A20, B20 のとき, AZB → A>B°
である。
また,|A|2A の性質を利用する.
A20 のとき, |A|=A
w
~M
*14||B|=|AB|
·|4|20,|A|2A,|A|2-A
「A<0 のとき,|A|>0, A<oより、Lalsa -A31||
A<0 のとき,|A|>0, A<0 より, A|>A}
(2)(1)の不等式を利用する。
3く
la|20, |b|20
より,
la|+|b|20
答
(1) |a+b|20, lal+|6|20 より, 平方して比べる。
=laP+2|a||b|+|6パ-(a+b)°
=d+2|ab|+6°ー(α'+2ab+6°)
2|ab|-2ab=2(\ab|=ab) ん
ここでJab|2ab より, labl=ab20 となる。
よって,不等式 la+b|<lal+|6| が成り立つ。
(2) |x|=|x+y-yl=1(x+y)+(-y)」 とすることがで
きる。
(1)
|1AP=A°,
|A||B|=|AB|
|A|2Aを利用する。
A=ab と考える。
1(x+y)+(-y)s|x+y]+|-y遠 (1)の結果を利用
「x+y+ly
a=x+y,
|x|<|x+yl+lyl
したがって,
よって, 不等式|x1-1y|<|x+y| が成り立つ、
公領)
b=-y
lylを左辺へ移項
OCus
|A|>|B| の証明 →|A°-|B|°=A°-B°>0 を示す
注》例題35(1)は (面倒であるが)次の場合に分けて証明することもできる。
(i) a20, b20, a+b20, (i) a<0, b<0, a+b<0, () a20, b<0, a+620
(iv) a20, b<0, a+b<0, (v) a<0, b20, a+b20, (vi) a<0, b20, a+6<0
(2)は,(i) |x|-ly<0 (i) |x|-lyz0 の場合に分けて証明することもできる。
