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重要 例題 116 反転 OP・OQ=一定
00000
|xy平面の原点を0とする。 xy平面上の0と異なる点Pに対し, 直線 OP 上の
点Qを次の条件 (A), (B) を満たすようにとる。
(A) OP・OQ=4
|点Pが直線x=1上を動くとき, 点 Q の軌跡を求めて,図示せよ。〔類 大阪市大
(BQ は,Oに関してPと同じ側にある。
指針 求めるのは、点Pに連動して動く点Qの軌跡。
連動形の軌跡
基本110
つなぎの文字を消去して, x,yの関係式を導く
P(X, Y), Q(x, y) とすると, 2点P, Q の関係は
点Qが半直線 OP上にある⇔X=tx, Y=ty となる正の実数t が存在する
このことと条件(A) から, tを消去して, X, Y を x, yの式で表す。 そして、点Pに関
する条件 X=1より,x,yの関係式が得られる。なお,除外点に注意。
Q(x,y)
X=tx, Y=ty (tは実数)
点 Q の座標を (x, y) とし, 点Pの座標を (X, Y) とする。
解答 Qは直線 OP 上の点であるから
P(X, Y)
ただし、点Pは原点と異なるから t=0, (x, y) ≠ (0, 0)
更に, (B) から, t> 0 である。
(A)から
√x2+y2√(tx)2+(ty)" =4
ゆえに
t(x2+y2)=4
よって
t=
x2+y2
4x
したがって X=
Ay
Y=-
x2+y2,
x2+y2
4x
点Pは直線x=1上を動くから
x²+y² =1 * (1
X = 1 に X=
tを消去する。
4x
xty2
ゆえに
x2+y2-4x=0
YA
代入する。
よって (x-2)2+y2=4
2
したがって, 求める軌跡は
中心点 (2,0), 半径が20円。
ただし, (x,y)=(0, 0) である
0
12
14
x
から,原点は除く。
図示すると, 右図のようになる。
注意 本間は、反転の問
である。反転については、
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