Gはどこから出てきたのですか。なぜGを求める必要があるのですか。

1402 重要 例題 44 ベクトルと軌跡 件 AP･BP +BP･CP+CP･AP=0 を満たすとき,Pはどのような図形上の 平面上の△ABC は BA・CA = 0 を満たしている。この平面上の点Pが 岡山理科大 点であるか。 CHARTO SOLUTION 解答 BA･CA=0 から, △ABCは∠A=90°の直角三角形である。 AB=1, AC =c, AP= とすると、条件の等式から þ· (b − b ) + (p − b ) · (p −c)+ (p—c) • p=0 6•c=0 +1=0 △ABC の問題 Aを始点とする位置ベクトルで表す ......① 条件式の中の各ベクトルを, Aを始点として, ベクトルの差に分割して整理する ベクトル方程式に帰着できないかと考える。 BA･CA = 0 から よって 整理すると ゆえに よって ゆえに ・万+1 3|p²²-2(b + c) • p=0 | B³² - 3²3² (b + c) • p = 0 |ñľ— ²3 (6 +č)·ñ+( ²3 16+č 1)² = ( ² 1 6 + ĉ¹1) ² - |p-} - (b+c)|=| ³+ |³²| 3 辺BCの中点をM, AM = m とすると + c = 2mを①に代入すると ① m= b+c 16/01/23 よって |||| 2→ AG=12/27m とすると,Gは線分 AM を 2:1に内分する点で ある｡ したがって,点Pは△ABCの重心Gを中心とし、半径が AG の円周上の点である。 BALCA Aを始点とする位置べ クトルで表す。 ・AB・AC=0 ◆2次式の平方完成と同 様に変形する。 ◆Mも定点である。 inf. Gは△ABC の重心 0 である。 SETS P B + ¥ M 'G PRACTICE・・･・ 44 平面上に, 異なる2 定点 0, A と,線分 OA を直径とする円C 考える。また,円C上に点Bをとり, OA=4,OB=1 とする。 (1) この平面上で, OP・AP + AP・BP +BP･OP = 0 を満たす点Pの全体よりな の中心をD,半径をrとする。 OD およびr を用いて (2) (1) において Rim

(2)の1行目の計算がよく分かりません。 1/16ならば1/4を括って２乗したことがわかるのですがなぜ16なのでしょうか。よろしくお願いします。

5 位置ベクトルと内積 なす角 重要 例題 58 1辺の長さがαの正四面体 ABCD において, AB=6, AC=c, AD=d とする。 辺AB, CD の中点をそれぞれ M, N とし,線分 MN の中点をG, ∠AGB=0 と [類熊本大) する。 で表せ。 (1) AN, AG, BG をそれぞれ (2) GA, GA・GB をそれぞれα を用いて表せ。 指針 (1) 中点の位置ベクトルの利用。 (2) |GA|=|AG|=AG・AG, GA・GB=AG・BG (3) GA-GB=|GA || GB | cos0 BG=AG-AB=-(-36+c+d) (2) 16|GA|=|4AG³²=(b+c+d)·(b+c+d) であることに注目すると |GA|=|GB | .......... よって, ① は GA・GB=|GA | cos0 となるから, (2) の結果が利用できる。 解答 (1) AN=(c+d) AG-1/12(AN+AN) /12/12/3+1/12(+2)=1/12(1+2+2) =161²+|c³²³+la 1²+2(b•c+c•d+d·b) =3a²+2×3a²cos60°=6a² (2) から 16GA GB=4AG 4BG=(b+c+d)·(−3b+c+d) =-3161²+1²+1d²-2b-c-2b-d+2c.d =-a²-2a² cos 60°=-2a² |GA³²=3 a², GA•GB=_ª² よって 8 (3) AM=BM, AN =BN であるから AB MN 1 ゆえに,|GA|=|GB|であるから GA・GB=|GA||GB|cos0=|GA|cost (1) の結果を利用して計算。 ここで, ABN は AN=BN の二等辺三角形 a² 8 8 3 = 基本 49 -a² cos 0 (3) cose の値を求めよ。 ゆえに cos0=- B' 113 b M C 4161=|c|=|d|= abb b·c=c∙d=d.b =a² cos 60° 分数の計算を避けるた 4AĞ=b+c+d. ABG-36+c+d として計算。 <|AÑ|=|BN|= ◄GA GB=- N a² 8 2 3 IGA = a² を代入 (3) PQとPR のなす角を求めよ。 練習 1辺の長さが1の立方体ABCD-A 'B'C'D' において, 辺AB, CC', D'A' ③58 α (1-α)に内分する点をそれぞれ P, Q, R とし, AB = x, AD=y, A. とする。 ただし, 0 <a <1 とする。 [類 センタ (1) PQ, PR をそれぞれx,y,zを用いて表せ。 (2) |PQ| |PR| を求めよ。 Cp.44

数Bベクトルです！ これの（２）のGCベクトルを求める問題で、私は模範解答とは違うやり方をして、答えが違いました。 どこが間違っていますか？？ 教えてください！

78 △ABC の重心を G, 辺BCの中点をMとし, GA = a, GB = 6 とする。 (1) AM, GC を GČを (2)点Mを通り,辺CAに平行な直線上の点をPとし, GP = p とする。 を用いて表せ。 BA この直線のベクトル方程式を,i,d, i を用いて求めよ。

この問題、なぜap= として求めていくのかが分かりません、 誰か教えてください🙏

26 ベクトルの等式と三角形の面積比 基本例題 「三角形ABCと点Pがあり, 4PA +5PB + 3PC = 0 を満たしている。 (1) 点Pの位置を 面積比 △PBC: △PCA: APAB を求めよ。 (2) CHART O 答 (1) 等式から ゆえに COLUTION aPA+ 6PB+cPC の問題 nAB+mAC 変形して, AP= (2 m+n (1) 点Aを始点とする位置ベクトルで考える。 (2) 三角形の面積比→ 等高なら底辺の比等底なら高さの比を利用する。 △ABCの面積をSとおいて,各三角形の面積をSで表す。 AP=5AB+3AC 12 _5AB+3AC 8 △PBC = - -4AP+5(AB-AP)+3(AC-AP)=0 _ _2 × 5AB÷3AC 3 8 △PCA= APAB= ここで, AD= と、点Dは線分BC を 3:5 3D 5 する点であり AP= 27/2AD よって APPD=2:1 とおく に内分 1+2 2 ゆえに, 点Pは,線分 BC を 3:5 に内分する点をDとした とき,線分 AD を 2:1に内分する点である。 (2) △ABCの面積をSとすると 2+1 2 2+1 AABC=}S, △ 2 PCA-ADC-1×35 ABC-1125. △ABC=1S B p.370 基本事項1. 数学A 基本 65 2 3 -△ABD- ²×3 +54 TA 28 = の形にする ···･・･ P △PBC:△PCA:△PAB=1s: A 00000 ( 類 神戸薬大) =4:5:3 62 375 ◆分割 PB=B-OP □は同じ点 よって 15AB+3AC において, AB, AC の係数の和は 5+3=8 AP=A(SAB+3AC 8 の形に変形する。 点Dは問題文にある ではないから、 解答の うにDの位置を説明 る必要がある。 inf. △ABCと点Pに aPA+6PB+cPC= を満たす正の数α, b. 存在するとき、次のこ 知られている。 (1) 点Pは△ABC にある。 (2) APBC: APCH △PAB=a ( 解答編 PRACTIC 補足 参照。) PRACTICE... 26③ 三角形ABCと点Pがあり, 2PA+6PB+5PC = 0 を満たし DAPを求めよ。

これは③のやり方でやってあるのですが、私は④でやろうとしました。④のやり方でも出来ますか？ また④でやって答えが合わなかったので、④のやり方ができる場合やり方を教えてほしいです！

00000 基本例題 63 2直線の交点の位置ベクトル 四面体OABCの辺OA の中点をP、辺BC を 2:1に内分する点をQ、辺OCを 1:3に内分する点をR, 辺AB を 1:6に内分する点をSとする。 OA=d, OB,OC=とすると (1) PQ を, 方 で表せ。 (2) RS を ,こで表せ。 (3) 直線 PQ と直線RSは交わり, その交点をTとするとき, Of を a,b,cで 表せ。 [類 岩手大 ] 指針▷ (1),(2) PQ=OQ-OP, RS=OS-OR (差による 分割) (3) 平面の場合 (p.418 基本例題24) と同様に, 解答 交点の位置ベクトル 2通りに表し係数比較 に沿って考える。 点T は直線PQ, RS 上にあるから PT = uPQ (u は実数), RT = RS(v は実数)として, OT をa, L,で2通りに表し, 係数を比較する。 (1) PQ=OQ-OP=1・6+2c (2) RS=OS-OR= (3) 直線PQ と直線RS の交点をTとする。 T は直線PQ上にあるから PT=uPQ (u は実数) 2 よって, (1) から 2+1 6a+1.6 1+6 6 OT=OP+uPQ=¹⁄(1−u)ã+⁄ub+ 2 2 → - 1/² à = -1/2 a + ²1² 6+² / č 1→ a+ b 2 3 3 3=35.9₂ 6 → 1 c = a + 1/ 6-1 c - 08/ 4 ¹80×40=3 OT-OR+vRS= va+vb + + + + (1 - 0) 2) 第1式と第2式から これは第3式を満たす。 よって, ① から 2 ² uč .uc.... ① 3 T は直線 RS 上にあるから RT=vRŚ (v t£#) >← |-[-)=BA ゆえに,(2) から [-E ₁1+EE+S)=JA IOHA ODA, HA SLA-87 4点 0, A,B,Cは同じ平面上にないから, ①, ② より 6 1 1/(1-u) = { v, \/\u= 7/7v, Zu-7 (1–0) u= 3 4 u= 7 5 =1/3.0=1/3 15 AZ is 2 17A+ÃO-HC P OT = ²a + 1/ 6+ /²/ c T $11 UN DAN HA B 基本24 の断りは重要。 > (1-0) 練習 四面体OABC において, 辺ABを1:3に内分する点をL, 辺OCを3:1に内分 ② 63 する点を M,線分 CL を 3:2に内分する点をN,線分 LM, ON の交点をPと OA=4,OB=1,OC=とするとき, OP を a, , で表せ。 4歳

交点の位置ベクトルについての問題です。 ピンクかっこ内について、『点Sは直線AB上にあるから1/2k+1/6k=1』とありますが、どうしてそうなるのか教えて頂きたいです。

43-B △OAB において, 辺OAを3:2に内分する点をP, 辺OB を 1:2に内分する点 を Q とする。線分 AQ と線分 BP の交点をRとする。 OA=a,OB=6 とすると き, OR をd を用いて表せ。 黄チャート 数学B 基本例題 29 (1) AR: RQ=s: (1-s), BR: RP=t: (1-t) とすると OR=(1-s) OA+sOQ=(1-s)a+ st (s) + 37 86 OR=(1-t)OB+tOP=3 ta+(1-t)b 2 ①② から a = 0, よって 43-C (1¬s)ā+sb=tā+(1-t)b 3 t, 0, ax であるから 1-s=1/23/t. 1/13s=1-1 5 ゆえに OR=1/+160 5 t= 1 s=2/2₁ 1=516-11- S= 2' ta 点Sは直線OR 上にあるから, OS=kOR (k は実数)とすると, 43-³®) ✈»♪___ŌŠ=k( ½ ã+ ¹ b ) == 1⁄2 kā + 1 kb から OS kl 1 点Sは直線AB上にあるから 1/12kt1/k=1 k+ 6 よって 12/2k=1 ①に代入して 05=4241+1/26 OS 方 TOLLAO 1 ゆえに k= 3-2 a 43-BBにおいて,線分 OR の延長が辺AB と交わる点をSとする。 ベクトルOS を a, を用いて表せ。 黄チャート 数学B 基本例題 36 3 -t P R 1-s A P IR A S B Q B

数Bのベクトルの問題です。丸で囲んでいる部分が何をしているかわかりません。解説をお願いします。

B 163 △ABCの辺BC, CA, AB を 2:1に内分する点をそれぞれ D, E, F とする。 A 155, 156 このとき, △ABCと△DEF の重心が一致することを証明せよ。

解答の赤くなっている部分ってこのような逆の書き方もありですか？

共線条件 (2) 基本例題 61 平行六面体 ABCD-EFGHにおいて, 辺AB, AD を 2:1に内分する点をそれぞ 00000 P Q とし, 平行四辺形 EFGH の対角線EGを1:2に内分する点をRとする とき, 平行六面体の対角線 AG は PQR の重心K を通ることを証明せよ。 基本60 指針 AG は Kを通る 3点A, G, K が 一直線上にある ⇔AG=kAK となる実数がある まず,点Aに関する位置ベクトル AB, AD, AE をそれぞれ6, d, として(表現を簡単 に), AG, AK を , d, e で表す。 解答 AB=1, AD=d, AE = " とする。 AP= 1/26, AQ= 2/2/31 また,AG=6+a+2 AR=2AE+AG_6+d+36 ①から 3 ゆえに,PQR の重心Kについて 1 AK=— (AP+AQ+AR) 3 [H また、 DX 練習 ②261 E K 1 2 6+d+3e = ( ²²6 +²² à + ³+²+³) ³+d+ė 3 3 3 3 AG=3AK ① ①② から したがって,対角線AGはPQR の重心K を通る。 検討 上の例題において, 辺AB, AD,線分 GE を t : (1-t) ( 0 t < 1) に内分する点を, それぞれP, Q, R とすると AP=tb, AQ=td_68314 G AG=6++ c から AR=tAÉ+(1-t)AG=te+(1-t) (+d+e) =(1-t)(b+d)+ē F B ゆえに AK=1/12 (t+t+(1-t) (6+2)+2=1/3+a+2) よって AG=3AK _*(X+8_) したがって,t の値に関係なく AG は △PQR の重心 K を通る。 baeは1次独立。 AP: PB=2:1 AQ: QD=2:1 ER: RG=1:2 結局, 点Kは△BDE の重 心である｡ H 1-tR E D 1-t 475 ・K G AF h 2章 9 位置ベクトル、ベクトルと図形 B 平行六面体 ABCD-EFGHで△BDE, ACHF の重心をそれぞれ P, Q とすると き, 4点A, P, Q, G は一直線上にあることを証明せよ。

質問です!! 数Bのベクトル問題です。 写真の問題の(3)の問題で なぜ０ベクトルがつくのでしょうか……🤔

58 △ABCにおいて、辺BC を 2:1に内分する点を D, 外分する点をEとし, △ABCの重心を Gとする。 AB=b, AC =c とするとき,次のベクトルを用いて表せ。 (1) AD (2) AE 5+ (3) AG +22 (5) GD 2+1 1 + 3 + 2 = + b² + z ² 3 = GD' = AD-AG (4) BD 26 +28² = -5² +22 2-1 = AP² - AB = ( ²6² + ²3² 2² ) -b² +32 =(3+) (52) Ga B 2 g₁ 3 2²

【平面上のベクトル】です。 2枚目の画像のピンク色の蛍光ペンで囲ってあるところがなぜそうなるか分からないので教えて欲しいです。(1枚目の画像が問題です)

類題2 (標) △ABCにおいて, 辺ABを2:1に内分する点をL, 辺ACの中点をM, CL と BM の 交点をPとし、直線AP と辺BCの交点をNとする。 AP, AN AB と AC を用いて 表せ。 また, AP: AN を求めよ。 A