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領域の個数
基本例題130 図形と漸化式 (1)・
平面上に,どの3本の直線も1点を共有しない , n
平面が直線によって分けられる領域の個数をnで表せ。
(1) どの2本の直線も平行でないとき。
(2) n(n2) 本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。
指針 (1) n=3の場合について、図をかいて考えてみよう。
4 (図のD,~D』)であるが,ここで直線ℓ を引くと, ls は
4.もと2点で交わり、この2つの交点でl, は3個の線分また
は半直線に分けられ、領域は3個(図のDs, Ds, D2) 増加する。
as=a₂+3
よって
同様に,n番目と (n+1) 番目の関係に注目して考える。
00000
2本の直線がある。 次の場合,
解答
(1) n本の直線で平面が α 個の領域に分けられているとする。
(n+1) 本目の直線を引くと, その直線は他のn本の直線で
(n+1) 個の線分または半直線に分けられ,領域は (n+1) 個
だけ増加する。 ゆえに an+1=an+n+1+(1-
よって
an+1-an=n+1
また
a₁=2
数列{an}の階差数列の一般項はn+1 であるから, n≧2の
とき
n-1.
an=2+2
+ Σ(k+1)= n²+n+2
2
これはn=1のときも成り立つ。
ゆえに、求める領域の個数は
(2) 平行な2直線のうちの1本をℓ とすると, l を除く (n-1)
本は (1) の条件を満たすから, この (n-1) 本の直線で分けら
れる領域の個数は (1) から
an-1
更に、直線ℓを引くと, ℓはこれと平行な1本の直線以外の
直線と (n-2) 個の点で交わり, (n-1) 個の領域が増える。
よって、求める領域の個数は
an-1+(n-1)=-
n²+n+2
2
(n−1)²+(n−1)+2
2
·+(n−1)=²
n=3
n²+n
2
Ds
D3
D7
n本の直線によって α 個の領域に分けられているとき, (n+1) 本目の直線を引くと領
域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。
pℓs
(2) (n-1) 本の直線が (1) の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行になる
から (n-2) 個の点で交わり, (n-1) 個の領域が加わる。
CHE 128
De
D₁
D2
0₂-7
n-1
(1) の結果を利用。
(n+1) 番目の直線はn本
の直線のどれとも平行でな
いから,交点はn個。
◄(k+1)=k+1
=(n-1)n+n-1
D.
an-1は, (1) annの
代わりに n-1 とおく。
練習
(3)
130 では交わらない n個の円がある。 これらの円によって
平面上に、どの2つの円をとっても互いに交わり, また、3つ以上の円は同一の点
られるか｡
の部分に分け
(
(2
