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接線 ①が点 (0, 2) を通るから
2 = 6t° +7 +1
6t37t + 1 = 0 を解くと
(t-1)(6t2-t-
(t-1)(2t-1)(3t+1
0
1
よって
1
t=1,
2' 3
これを ①に代入すると
y=-5x+2, y=
17
-x+2, y=
4
3x+2
すなわち y=(2t-5)x-t+1
...
②②
接線 ①,②が一致することから
f3s2-3=2t-5
... ③
組立除法を利用する。
[-2s3=-t+1
... ④
+)
6-7 0
6-1-1
1
③ ④より, tを消去して整理すると
Sは実数より
s2 (9s2-8s +12)=0
S = U
6 -1 -1 0
これより
t=1
したがって, 求める共通接線の方程式は
y=-3x
〔別解〕 (4行目まで同じ)
① と y=x-5x+1 を連立すると
(3s2-3)x-2s' = x-5x+1
整理すると x²- (3s+2)x + 2s + 1 = 0
210 (1) αは実数とする。 2つの曲線 y=x+2ax²-3ax-4 と y=ax22a3aはある共
有点で両方の曲線に共通な接線をもつ。このとき,αの値を求めよ。
(2)2つの曲線 y=x-3x,y=x25x+1 の共通接線の方程式を求めよ。
(1) f(x) = x +2ax-3ax-4,g(x) = ax-2ax-34 とおくと
(千葉大)
直線 ①と放物線y=x-5x+1 が接するから, ⑤の判別式をD
とすると D=0
D = (3s' +2)-4(2s'+1)=s'(9s8s+12)
s2 (9s2-8s+120 より
s=0
f'(x) = 3x+4ax-34, g'(x) =2ax-24
したがって, 求める共通接線の方程式は
y=
-3x
共通接線をもつ共有点のx座標をおくと
f(t) = g(t) より t3+2at2-3at-4-at2-2at-3a
･･･ ①
f'(t) =g'(t) より
3t2+4at 3a² = 2at-2a²
・・・②
②より
3t+2at-d=0
共有点のy座標は等しい。
共有点における接線の傾
きは等しい。
211 次の関数のグラフをかけ。
(1) y=x-3x +2|
(2) y = |x|(x²+x-1)
(t+a) (3t-a)=0
a
よって
t = -a,
3
(1) f(x)=x3x²+2 とおくと
f'(x) = 3x-6x=3x(x-2)
(x) = 0 となるxは
x=0,2
(ア) t = -a のとき
① より
4a3-4 3a3-3a
a3+3a-4=0
(a-1) (a²+α+4) = 0
αは実数であるから a=1
a
(イ) t= のとき
+
組立除法を用いると
1 1 0 3 -4
11 4
114 0
a³ 2a3
a³ 2a3
α+α+ 4 = 0 は実数解
をもたない。
①より
+
a3-4=
-3a
27 9
9
3
a3+6a3-27a3-1083a3-18a3-81a
5a3-81a 108 = 0
(a-3)(5a²+15a-36) = 0
-15±3/105
よって
a = 3,
10
(ア)(イ)より
-15±3/105
a = 1, 3,
10
(2) 曲線 y=x-3x 上の接点をP(s, s-3s) とおくと,
y'=3x²-3より, 点Pにおける接線の方程式は
y- (sa-3s) = (3s2-3)(x-s)
すなわち
y=(3s2-3)x-2s3
... ①
曲線 y=x^-5x+1 上の接点をQ(t, ピ-5t+1) とおくと,
y'=2x-5 より, 点Qにおける接線の方程式は
y-(t-5t+1)=(2t-5) (x-t
x
0 ... 2
f'(x)
+
-
0
0
よってf(x)の増減表は右のよ
うになる。
f(x)
2
ゆえに、関数(x)は
x=0のと
極大値 2
x=2のとき 小値 2
また, f(x) =0 とおく
(x-1)(x-2x-2)=0 よ
x=1, x=1±√3
A
両辺に27を掛けて整理
する。
●組立除法を用いると
1-√√3
3 5
0-81 108
+)
15 45-108
5 15-36
10
(1±√3,0
なり,y=f(のグラフは右の図。
y=f(x)のグラフは,y=f(x) の
グラフ
よって, y=f(x)のグラととの
共有点の座標は (1
y-f(s) = f'(s) (xls)
を用いる。
x
軸より下方にある部分を
軸にして折り返したものであるから
るグラフは右の図。
f(x)=|x|(x²+x-1) とおく。
(ア) x≧0 のとき
f(x)=x(x²+x-1)=x+x-x より
1-30
f'(x) = 3x2+2x-1= (3x-1)(x+1)
f (x) = 0 となるx は, x≧0 より x=
13
W
1 2 1+3
