基本例題 79 2次関数の最大
aは定数とする。 0≦x≦4 における関数f(x)=x-2ax+3aについて､次のもの
基本77 基本114
(2) 最小値
を求めよ｡
(1) 最大値
指針 関数のグラフ (下に凸の放物線)の軸は直線x=a であるが, αのとる値によって、胸の
置が変わる。
よって, 軸x=a と区間 0≦x≦4の位置関係で,次のように場合を分ける。
→軸が区間の中央より左, 中央, 中央より右
(1) 最大 (区間の端)
(2) 最小 (頂点または区間の端)軸が区間の左外, 内, 右外
解答
まず,基本形に直す。
関数の式を変形すると
f(x)=(x-a)²-a²+3a
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線x=a
(1) 区間 0≦x≦4の中央の値は2である。
[[1] a<2のとき,図] [1] から, x=4で最大値f(4)=16-5aをとる。
[[]] [2] a=2のとき,図 [2] から, x=0, 4で最大値f(0)=f(4)=6をとる。
[3] a>2のとき,図 [3] から, x=0 で最大値f(0) = 34 をとる。
[3]|
[1]
[2]
大
最
FE
大
[x2]
x=0xax=4
x=0x=2x=4
x=0 x=ax=4
したがって
a<2のとき
x=4で最大値16-5a
a=2のとき x=0, 4で最大値6
a>2のとき x=0で最大値3a
(2) 軸x=α が 0≦x≦4の範囲に含まれるかどうかを考える。
[ [4] a<0のとき, 図 [4] から, x=0 で最小値f(0)=3aをとる。
[] [5] 0≦a≦4のとき, 図 [5] から, x=αで最小値f(a)=-²+3a をとる。
[ [6] α>4のとき, 図 [6] から, x=4で最小値f(4)=16-5αをとる。
[4] 軸]
[5]
[6]
軸
x=ax= 0x=4
x=0 xax=4
たがって
x=0
x=4xa
a<0のとき
x=0で最小値3a
0≦a≦4のとき x=α で最小値-α'+3a
a>4のとき x=4で最小値16-5α
aは定数とし、関数y=x2+2(a-1)x (1≦x≦1) についての
(1) 最大値
130
30
