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私大対策数学 【同志社/立命館】
25 座標平面上に曲線C:y=ex (x>0) と曲線 D: y=1 + log x(x>0) がある。
(1) C上の点P(s,ers)におけるCの接線を l とする。 接線 l の方程式をsを用いて表せ。
(2)D上の点Q(1+10gt) における D の接線 は (1) の接線 l と垂直に交わるとする。
このとき,ts を用いて表せ。
(3)(1)の接線lの切片をu とし,u をs の関数と考える。このとき,s>0 においてぇは単調に減
示せ。さらに,sがs>0の範囲を動くとき,"の値域は>1であることを示せ。
少することを
(4)(3)のsu(1) に対して,sを”の関数と考える。このとき,
ds をsを用いて表せ。 さら
に,sで表さ
du
れた (2) のに対して, du
dt
=1 となるuの値を求めよ。 ただし, suの関数とし
て微分可能であることを証明な
1
しに用いてよい。
te
(1)
C: y = ex. (-)
1
xe
1 : 1 =
-e(x-s) +e=ex+e(+)
(2)
D:y=1/
mの
傾きは↓で、条件より、
e² = = - 1 1 = ± e²
(3)
u =
(1 + 1 )
= (1+1) + (-)--(1+())-(2+)
SSDにおいて、U'<Oより、題意を満たす。
(4s+//+5)
u
(2)²²
lim
bmu=1 よって、SDのとき、">]
(2+1)
(+)/
(4)=(1/2)について両辺について微分すると
=(1/2)(1+1/2)+(-1/23s')
-s' (2+1/2)=1
1-$
JJ
=
dt
du
S
S=
S(2+1)
5.5·1-3)
(S)(2+1
S
(2 + 1/3) e' s
1]
1
S
S
s' (2+ √ √3)²
45+//+5
(2+3) es
(25 (2+)²) - s² ² ² + (a + })()
(2 + √ √ √) ² e ³ ³ ³
S
S2
(2+3)= (2+3)²
