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これが最も多く
3,...... 大
法則 という。
ている。
-=10g(1+1)
に例も考えられ
て考えてみる。
手は
無関係
ogro-2)}
133 関連発展問題
演習 例題186 指数方程式の有理数解
(1) 3' =5 を満たす x は無理数であることを示せ。
(2) 3*5-2y=5×39-6 を満たす有理数x, y を求めよ。
れる。
456789 【CHART 無理数であることの証明
giok
いられること
指針 実数において
[
m
x>0で,x=
n
ものを無理数という。
(1) 無理数であることの証明では, 有理数であると仮定して,矛盾を導く (背理法)。
(2) 方程式1つに変数がx,yの2つ。 有理数という条件で解くから, (1) が利用できそう。
底が3,5であるから, 3' =5 [(1)] の形にはならないことを用いる。
解答
(1) 3*=5 を満たすxはただ1つ存在する。
そのxが有理数であると仮定すると, 3*=5>1 であるから
(m,nは整数,n≠0) と表される数を有理数といい, 有理数でない
SHOT
10
m (m,n は正の整数)と表される。
n
37=5
よって
両辺を2乗すると
3m=5n
ここで、①の左辺は3の倍数であり,右辺は3の倍数ではな
A
いから、矛盾。
よって, xは有理数ではないから, 無理数である。
(2)等式から
3x-y+6=5x+2y
② vol
x+2y=0 と仮定すると、②から
3x+2y=5
ゆえに
このとき②から
m (有理数) とおいて, 背理法
n
BREN
3
x, y を有理数とすると, x-y+6, x+2y はともに有理数で
x-y+6
x+2y
も有理数となり (1) により③は成り立たない。
x+2y=0
3x-y+6=1
って
⑨⑤を連立して解くと
x=y+6=0
18 Maar
x=-4, y=2
を満たす有理数x, y を求めよ。
基本 167
背理法
事柄が成り立たないと仮定し
て矛盾を導き, それによって
事柄が成り立つとする証明法
(数学Ⅰ)。
--0-8-20- ( []
<3と5は1以外の公約数を
もたない。 このとき,3と
5は互いに素 という。
3*÷3=5÷5-2y
3x-(y-6)=5x-(-2y)
②+x+y
165)=(5x+2y)x+2y
(1) で 3' =5を満たすrは
無理数であることを証明し
ている。
④: x+2y≠0 と仮定して,
矛盾が生じたから,
x+2y=0 である。
p.294 EX120
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5章
33
関連発展問題
